[論文レビュー] Escobar-Yamabe compactifications for Poincare-Einstein manifolds and rigidity theorems

Xuezhang Chen, Mijia Lai+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Escobar-Yamabeコンパクト化を用いて、Poincaré-Einstein多様体の剛性定理を確立し、共形無限遠とコンパクト化された境界計量に関するヤマベ型不等式における等号が成立するのは、多様体が双曲空間に等長である場合に限ることを証明する。これらの結果により、共形無限遠が標準球面に共形同値であるPoincaré-Einstein多様体の剛性定理に対する、新たな簡素化された証明が得られる。

ABSTRACT

Let $(X^{n},g_+) $ $(n\geq 3)$ be a Poincaré-Einstein manifold which is $C^{3,α}$ conformally compact with conformal infinity $(\partial X, [\hat{g}])$. On the conformal compactification $(\overline{X}, \bar g=ρ^2g_+)$ via some boundary defining function $ρ$, there are two types of Yamabe constants: $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$. (See definitions ( ef{def.type1}) and ( ef{def.type2})). In \cite{GH}, Gursky and Han gave an inequality between $Y(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X,[\hat{g}])$. In this paper, we first show that the equality holds in Gursky-Han's theorem if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to the standard hyperbolic space $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Secondly, we derive an inequality between $Q(\overline{X},\partial X,[\bar g])$ and $Y(\partial X, [\hat g])$, and show that the equality holds if and only if $(X^{n},g_+)$ is isometric to $(\mathbb{H}^{n}, g_{\mathbb{H}})$. Based on this, we give a simple proof of the rigidity theorem for Poincaré-Einstein manifolds with conformal infinity being conformally equivalent to the standard sphere.

研究の動機と目的

• コンパクト化されたPoincaré-Einstein多様体とその共形無限遠のヤマベ定数の間の鋭い不等式を確立すること。
• これらの不等式における等号が成立する条件を同定し、特に基礎となる多様体の幾何構造と関連づけて特徴づけること。
• 共形無限遠が標準球面に共形同値であるPoincaré-Einstein多様体の剛性定理を簡素化された証明で再確認すること。
• 曲率および境界条件の下でのEscobar-Yamabeコンパクト化の構造を分析すること。
• ヤマベ型不等式における等号が成立する場合、多様体が双曲空間に等長であることを示すこと。

提案手法

• 境界を伴うコンパクト化多様体上に二つのヤマベ型定数 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ と $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ を定義する。
• 境界定義関数 $ \rho $ を用いたEscobar-Yamabeコンパクト化 $ \bar{g} = \rho^2 g_+ $ を導入し、$ C^{3,\beta} $ の正則性を保証する。
• 正質量定理およびEscobarとBrendle-Chenの結果を用いて、定数スカラー曲率と完全測地的境界を有する計量の存在を示す。
• ガウス-コダッチ方程式と条件 $ \bar{E} = 0 $ から重要な恒等式を導出し、リッチ曲率の消滅を示す。
• Reillyの公式と境界条件 $ N(u) = \text{constant} $ を用いて、多様体がユークリッド球に等長であることを導く。
• 等号が不等式に成立する場合、$ (X, g_+) $ は $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ に等長であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gursky-Hanの不等式 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ と $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 間の等号が成立するのはどのような条件下か？
• RQ2 新しい不等式 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ と $ Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ 間の等号が成立するのはいつか？
• RQ3 共形無限遠が標準球面に共形同値であるPoincaré-Einstein多様体の剛性が、ヤマベ型コンパクト化を用いて再確認可能か？
• RQ4 どのような幾何的制約が、等号成立時にEscobar-Yamabe計量がユークリッド的になるように強いるか？
• RQ5 トレースレスリッチテンソルの消滅と境界のアンビリカル性が、どのようにユークリッド球への等長写像を導くか？

主な発見

• Gursky-Hanの不等式 $ Y(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ における等号は、$ (X, g_+) $ が $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ に等長である場合に限り成立する。
• 同様に、$ Q $-定数不等式 $ Q(\bar{X}, \bar{\nabla}X, [\bar{g}]) \triangleq Y(\bar{\nabla}X, [\bar{g}]) $ における等号も、$ (X, g_+) \to (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ である場合に限り成立する。
• 等号が $ Q $-不等式に成立する場合、コンパクト化計量 $ \bar{g} $ のリッチ曲率は恒等的に消えるため、$ \bar{R}_{\beta\beta} = 0 $ であることが示される。
• 境界がアンビリカルであり、スカラー曲率 $ \bar{R} $ が定数であることが示され、$ \bar{\nabla}^2 \rho = \frac{1}{n} (\triangle_{\bar{g}} \rho) \bar{g} $ が得られる。
• Reillyの公式と境界条件 $ N(u) = \text{constant} $ を用いて、多様体 $ (\bar{X}, \bar{g}) $ がユークリッド単位球に等長であることが証明される。
• ゆえに、$ (X, g_+) $ は $ (\bb{H}^n, g_{\bb{H}}) $ に等長であり、共形無限遠が $ S^{n-1} $ に共形同値である場合の剛性証明が完了する。