[論文レビュー] Espace des modules des faisceaux semi-stables de rang 2 et de classes de Chern $c_{1}=0$, $c_{2}=2$ et $c_{3}=0$ sur une hypersurface cubique lisse de $\mathbb{P}^{4}$

Stéphane Druel|ArXiv.org|Feb 8, 2000

Geometry and complex manifolds被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、滑らかな立方三重数三重曲面 $X \subset \mathbb{P}^4$ 上のランク2の半安定ベクトルバンドルのモジュライ空間 $M_X$ が、第二チャーン類 $c_1=0$, $c_2=2$, $c_3=0$ を持つとき、中間ジャコビアン $J(X)$ 内のファノ曲面 $-B$ の平行移動のブLOW-UPに同型であることを確立する。この構成はアーベル・ジャコビ写像を用い、双有理幾何とプリム多様体を介してモジュライ空間を同定し、安定バンドルが五次楕円曲線に対応し、厳密に半安定なものは $X$ 上の直線の対に対応することを示す。主な結果は、$M_X$ が中間ジャコビアン内でのブLOW-UPとして幾何的に実現されることであり、ファノ曲面と中間ジャコビアンの幾何を用いてその構造が解明される。

ABSTRACT

In this note we study the moduli space of rank two semistable sheaves on a smooth cubic hypersurface $X\subset\mathbb{P}^{4}$ with $c_{1}=0$, $c_{2}=2$ and $c_{3}=0$. We show that it is isomorphic to the blow-up of the intermediate jacobian $J(X)$ of $X$ along the Fano surface of $X$. We complete previous results of Iliev-Markushevich AG/9910058 and Markushevich-Tikhomirov AG/9910063.

研究の動機と目的

• 滑らかな立方三重曲面 $X \subset \mathbb{P}^4$ 上のランク2半安定ベクトルバンドルのモジュライ空間 $M_X$ の幾何的構造を記述すること。ただし、チャーン類 $c_1=0$, $c_2=2$, $c_3=0$ を固定する。
• $M_X$ と中間ジャコビアン $J(X)$ 内のファノ曲面 $-B$ の平行移動のブLOW-UPとの明確な同型を確立すること。
• 安定および厳密に半安定バンドルのパラメトライゼーションを、$X$ 上の幾何的対象（例えば、五次楕円曲線や直線の対）を用いて明確にすること。
• 第二チャーン類が $M_X$ から $J(X)$ への双有理写像を誘導することを示し、その写像がブLOW-UPによって同型にになると示すこと。

提案手法

• 中間ジャコビアン $J(X)$ は、$(H^{2,1}(X))^*/\alpha(H_3(X,\mathbb{Z}))$ として定義され、次元5の主偏極付アーベル多様体である。
• 普遍族の第二チャーン類を介して、$c_2: M_X \to J(X)$ という写像を構成し、これが代数的かつ群作用に関して不変であることを示した。
• $M_X$ が次元5の滑らかで連結な多様体であり、安定バンドルをパラメトライズする開かつ稠密な部分集合 $U$ を持つことを示した。
• 直線の対によるパラメトライゼーションを用いて、厳密に半安定バンドルの構造を分析し、$B \times B \to M_X$ という準有限写像を得た。
• 鍵となる技術的道具は、アーベル・ジャコビ写像と中間ジャコビアンとの同一視であり、$P \simeq A \subset A_1(X)$ という同型を用い、$P$ を $X$ に含まれる直線 $\ell$ に関連する二重被覆 $C \to C_0$ のプリム多様体とする。
• 最終的な同型 $M_X \simeq \widetilde{(-B)}$ は、$c_2$ が双有理的であり、例外的除集合が $-B$ の平行移動にマッピングされ、ブLOW-UPが像の特異点を解消することから導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2半安定バンドルのモジュライ空間 $M_X$ は、$c_1=0$, $c_2=2$, $c_3=0$ を満たす滑らかな立方三重曲面 $X$ 上で、どのように幾何的に構造化されているか？
• RQ2 安定および厳密に半安定バンドル $X$ 上で、幾何的対象（例：五次楕円曲線、直線の対）を用いてどのようにパラメトライズされるか？
• RQ3 第二チャーン類写像 $c_2: M_X \to J(X)$ は双有理的か？その幾何的解釈は何か？
• RQ4 モジュライ空間 $M_X$ は中間ジャコビアン $J(X)$ 内の部分多様体のブLOW-UPとして実現可能か？
• RQ5 立方三重曲面 $X$ 上の直線のファノ曲面 $B$ は、$M_X$ の幾何において果たす役割は何か？

主な発見

• モジュライ空間 $M_X$ は、中間ジャコビアン $J(X)$ 内のファノ曲面 $-B$ の平行移動のブLOW-UPに同型であり、幾何的ブLOW-UPを用いてその構造が解明される。
• 第二チャーン類によって誘導される写像 $c_2: M_X \to J(X)$ は双有理的であり、ブLOW-UPの後、同型にまで高まる。これにより $M_X$ は $\widetilde{(-B)} \subset J(X)$ と同定される。
• 安定バンドルは、セレ構成を用いて、$X$ 上に存在する滑らかな五次楕円曲線によってパラメトライズされる。
• 厳密に半安定バンドルは、$X$ 上の相異なる直線の対によってパラメトライズされ、対応する写像 $B \times B \to M_X$ の像は、余次元1の閉部分多様体である。
• 中間ジャコビアン $J(X)$ は、$X$ に含まれる固定された直線 $\ell$ に関連する二重被覆 $C \to C_0$ のプリム多様体 $P$ と同型である。ここで $C$ は $\ell$ に接する直線の多様体であり、$C_0$ は二次曲面ファイブレーションの退化性の軌跡である。
• $M_X$ から $J(X)$ へのアーベル・ジャコビ写像は代数的であり、サイクル $z_t - z_{t_0}$ の類がホモロジーを法とする相対的3サイクルに沿った積分と一致することを確認し、$M_X$ が $J(X)$ 内でのブLOW-UPとして幾何的に実現されることを裏付けた。