[論文レビュー] Espaces critiques pour le système des equations de Navier-Stokes incompressibles

Pascal Auscher, Philippe Tchamitchian|ArXiv.org|Dec 5, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、初期データが小さい場合のグローバルなみみ解、または任意の初期データに対する局所解が存在する関数空間 E を特定するための抽象的枠組みを導入する。一般化されたカト型手法を用いて、ナビエ＝ストークス方程式の解の存在と正則性を保証する一般的で検証可能な条件を、リトルウッド＝パイルの分解と最大関数の推定に基づいて確立する。この条件は、リーマン、ローレンツ、ベソフ、モリィ空間といった古典的空間、および非平行移動不変な 2-ミクロ局所空間に対しても適用可能である。

ABSTRACT

In this work, we exhibit abstract conditions on a functional space E who insure the existence of a global mild solution for small data in E or the existence of a local mild solution in absence of size constraints for a class of semi-linear parabolic equations, which contains the incompressible Navier-Stokes system as a fundamental example. We also give an abstract criterion toward regularity of the obtained solutions. These conditions, given in terms of Littlewood-Paley estimates for products of spectrally localized elements of $E$, are simple to check in all known cases: Lebesgue, Lorents, Besov, Morrey... spaces. These conditions also apply to non-invariant spaces E and we give full details in the case of some 2-microlocal spaces. The following comments did not show on the first version: This article was written around 1998-99 and never published, because at that time, Koch and Tataru announced their result on well-posedness of Navier-stokes equations with initial data in $BMO^{-1}$. We believe though that some results and counterexamples here are of independent interest and we make them available electronically.

研究の動機と目的

• 初期データが小さい場合のグローバルみみ解、またはサイズ制限なしの初期データに対する局所解が存在する関数空間 E を特徴付けること。
• カト法（KW）を一般化し、みみ表現における双線形項の有界性を保証するバナッハ空間 E に対する抽象的で検証可能な条件を同定すること。
• 平行移動不変でない空間へ理論を拡張し、2-ミクロ局所空間のような非不変空間を含めることで、適用範囲を拡大すること。
• ローレンツ、ベソフ、モリィ、一般化された 2-ミクロ局所空間を含む多様な関数空間において、解の存在と正則性を統一的に扱う基準を提供すること。
• 既知の関数空間における存在性と正則性の検証を単純化する一般枠組みを確立し、その検証をいくつかの構造的性質の確認に還元すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス系のみみ解表現を $ u = S u_0 + B(u,u) $ として形式化し、$ S $ を熱半群、$ B $ を非線形項を表す双線形作用素とする。
• 関数空間 E と双対型空間 E^# の「許容的」な対 (E, E^#) のクラスを導入し、dyadic 分解を用いて双線形項の有界性を保証する。
• リトルウッド＝パイル分解を用いて、周波数局所化されたノルムを用いて双線形項 $ B(u,v) $ を推定し、$ (1 + 2^j au)^{-N} $ および $ (1 + 2^j au)^{-p} $ を含む減衰推定を利用する。
• 最大関数と周波数局所化に関する条件を満たす「良い」バナッハ空間を定義し、双線形作用素 $ B $ が $ \tilde{F}_N $（E 値をとる連続関数の空間）上で連続であることを保証する。
• 解が $ \tilde{F}_N $ に属する場合に、高階の減衰および滑らかさ推定を示し、$ (0,\infty) \times \mathbb{R}^3 $ 上で $ C^\infty $ 正則性が成立することを証明することで正則性を確立する。
• 密度関数 $ \eta $ を用いて定義される 2-ミクロ局所空間を導入し、非平行移動不変空間への応用を実施。$ \eta $ に対して Dini 型の条件を仮定することで、存在性と正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの関数空間 E において、初期データが十分に小さい場合にナビエ＝ストークス方程式に対してグローバルみみ解が存在するか？
• RQ2 バナッハ空間 E に対して、みみ表現における双線形項 $ B $ の有界性を保証する抽象的条件は何か？ これによりピカード反復が可能になる。
• RQ3 カト法は、2-ミクロ局所空間のような非平行移動不変関数空間へ拡張可能か？
• RQ4 解の存在と高階正則性を保証する関数空間の最小構造的条件は何か？
• RQ5 古典的空間（ローレンツ、ベソフ、モリィ空間）はこの抽象的枠組みにどのように適合するか？ また、リトルウッド＝パイル分解が条件の検証に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、グローバルみみ解の存在を保証する一般基準を確立した。バナッハ空間 E がその最大関数および周波数局所化に関する一定の条件を満たす場合、$ B $ は $ \tilde{F}_N $ 上で連続であり、ピカード反復により解の存在が保証される。
• 任意の $ s' > 0 $ に対して、初期データ $ u_0 \in \dot{C}^{-1,s'}_S $ が十分に小さいノルムを持つ場合、かつ集合 $ S \subset \mathbb{R}^3 $ が Dini 条件を満たす密度関数を持つ場合、$ (0,\infty) \times \mathbb{R}^3 $ 上にグローバル $ C^\infty $ 解が存在する。
• すべての $ N $ に対して $ \|B(u,u)\|_{\tilde{F}_N^\sharp} \leq C_N \|u\|_{\tilde{F}_N}^2 $ が成り立つ。これは双線形項が解空間内で適切に制御されていることを確認する。
• 本手法は、リーマン、ローレンツ、ベソフ、モリィ、トライベル＝リゾルキン空間といった古典的空間に対しても一様に適用可能であり、条件の検証が簡単である。
• 本枠組みは、Dini 連続な密度関数 $ \eta $ を用いて定義される 2-ミクロ局所空間に対しても拡張可能であり、同じ抽象的条件下でグローバル存在性と滑らかさが証明された。
• 解は $ t \to 0 $ のとき、$ \dot{C}^{-1,s'}_S $ の弱-* 収束において初期データに収束する。これは正しい初期トレースが得られていることを確認する。