[論文レビュー] Espaces de fonctions à moyenne fractionnaire intégrable sur les groupes localement compacts

Justin Feuto, Ibrahim Fofana+1 more|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、局所コンpaktoな $ \sigma $-コンパクトな群 $ G $ 上のバナッハ空間 $ L_{(q,p)}^{\tau}(G) $ に対して、対称的近傍での平均に基づくノルムを用いて、より扱いやすい同値な定義を確立する。さらに、同型群の構造を用いて、非アーベル群への拡張を $ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ を通じて行う。主な貢献は、$ L^{\alpha,\infty}(G) $ が $ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ の複素部分空間であることを示し、近傍の選択に依存しない一様な有界性を保証することにある。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group which is $σ$-compact, endowed with a left Haar measure $λ.$ Denote by $e$ the unit element of $G$, and by $B$ an open relatively compact and symmetric neighbourhood of $e$. For every $(p,q) $ belonging to $[ 1 ; +\infty ] ^{2}$, we give an equivalent and a priori more manageable definition of the Banach space $L_{(q,p)}^π(G),$ defined by R. C. Busby and H. A. Smith in \cite% {1}. In the case $G$ is a group of homogeneous type, we look at the subspaces $(L^{q},L^{p}) ^α(G)$ of the space $% L_{(q,p)}^π(G)$. Theses subspaces are extensions to non abelian groups of the spaces of functions with integrable mean, defined by I. Fofana in \cite{2}. Finally we show that $L^{α,+\infty}(G)$ is a complex subspace of $(L^{q},L^{p}) ^α(G)$.

研究の動機と目的

• バスビーとスミスによって導入されたバナッハ空間 $ L_{(q,p)}^\pi(G) $ のより扱いやすい同値な定義を提供すること。
• アーベル群に対して定義された「分数階平均が可積分な関数」の概念を、非アーベルで局所コンパクトな同型群へ拡張すること。
• 特に同型群の文脈において、$ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ が $ L_{(q,p)}^\pi(G) $ 内の部分空間としてどのように特徴づけられるかを明らかにすること。
• 非アーベル群上でのローレンツ型空間理論において、$ L^{\alpha,\infty}(G) $ が $ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ の複素部分空間であることを証明し、新たな包含関係を確立すること。
• ノルム $ {}_B\|f\|_{q,p} $ が、単位元の対称的かつ相対コンパクトな近傍 $ B $ の選択に依存せず、$ \|f\|_{q,p}^\pi $ と同値であることを示すこと。

提案手法

• 固定された単位元の対称的かつ相対コンパクトな近傍 $ B $ を用いて、$ y \in G $ における $ \|f\chi_{yB}\|_q $ の平均に基づく新しいノルム $ {}_B\|f\|_{q,p} $ を定義する。
• 測度論的推定と被覆論法を用いて、$ {}_B\|f\|_{q,p} $ が $ \|f\|_{q,p}^\pi $ と同値であることを示し、$ B $ の選択に依存しないことを証明する。
• 同型群の構造（特に、同型ノルム $ |\cdot| $、スケーリング $ \delta_r $、次元 $ \rho $）を用いて、集合 $ E_n $ の特性関数のスケーリング推定を導出する。
• 球 $ B(e,r) $ の二進分解を適用し、同型距離におけるダブルインナーサイズと三角不等式を活用して、$ y $ を変数とする $ f\chi_{yB} $ の $ L^q $-ノルムを推定する。
• dyadicスケールにおける $ n $ の減少を示す、$ \lambda(B(e,r))^{1/\alpha - 1/q - 1/p} \cdot {}_B\|f\|_{q,p} $ の一様有界性を導出し、$ \alpha $-ノルムの有限性を示す。
• 再配列ノルム $ \|f\|_{q,p}^* $ とローレンツ空間理論を用いて、新しいノルムと古典的ローレンツ空間との関係を確立し、包含関係 $ L^{\alpha,\infty}(G) \subset (L^q, L^p)^\alpha(G) $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトで $ \sigma $-コンパクトな群 $ G $ 上のバナッハ空間 $ L_{(q,p)}^\pi(G) $ は、対称的近傍での平均に基づくより扱いやすいノルムに再定義可能か？
• RQ2 アーベル群に対して定義された「分数階平均が可積分な関数」の概念は、非アーベルな同型群へどのように拡張可能か？
• RQ3 $ L^{\alpha,\infty}(G) $ は、新たに定義された空間 $ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ に含まれるか？その場合、$ p, q, \alpha $ にどのような条件が必要か？
• RQ4 ノルム $ {}_B\|f\|_{q,p} $ は、対称的かつ相対コンパクトな近傍 $ B $ の選択に依存するか、それともすべての such $ B $ に対して同値か？
• RQ5 同型群における二進分解の集合の特性関数に対して、ノルム $ \|f\|_{q,p,\alpha} $ のスケーリングおよび減衰の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の単位元の対称的かつ相対コンパクトな近傍 $ B $ に対して、ノルム $ {}_B\|f\|_{q,p} $ は $ \|f\|_{q,p}^\pi $ と同値であり、$ B $ の選択に依存しないことが示された。
• $ (L^q, L^p)^\alpha(G) $ は、ノルム $ {}_B\|f\|_{q,p} $ を用いて定義されたバナッハ空間であり、$ L_{(q,p)}^\pi(G) $ と同型であるため、より扱いやすい枠組みを提供する。
• 同型群において、すべての $ f \in L^{\alpha,\infty}(G) $ に対してノルム $ \|f\|_{q,p,\alpha} $ は有限であり、$ \rho, \alpha, p, q, \gamma $ および群の同型構造にのみ依存する一様有界性が保証される。
• すべての $ r > 0 $ に対して、推定 $ \lambda(B(e,r))^{1/\alpha - 1/q - 1/p} \cdot {}_B\|f\|_{q,p} \leq C_4 (2^{-\rho(1/\alpha - 1/p)})^n $ が一様に成り立ち、$ n $ に対して指数関数的減衰を示し、$ \alpha $-ノルムの有限性を示唆する。
• $ L^{\alpha,\infty}(G) \subset (L^q, L^p)^\alpha(G) $ の包含関係は、複素部分空間として成立し、非アーベルで同型群上でのローレンツ空間理論の拡張が達成された。
• 証明は、同型次元 $ \rho $、同型ノルム $ |\cdot| $、および距離における三角不等式を制御する定数 $ \gamma $ を用いた二進分解とスケーリング推定に依存している。