[論文レビュー] Essential dimension and algebraic stacks

Patrick Brosnan, Zinovy Reichstein+1 more|ArXiv.org|Jan 31, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 31

ひとこと要約

本稿は代数的スタックにおける本質的次元の概念を導入・展開し、曲線のモジュライスタック $χ_{g,n}$ および $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の本質的次元を計算するとともに、スピン群のための新たな指数的下界と $p$-群の公式を導出する。$2g-2+n > 0$ かつ $(g,n) \neq (1,0)$ のとき $\operatorname{ed}\mathcal{M}_{g,n} = 3g-3+n$ を証明し、$\operatorname{ed}\mathcal{M}_{1,0} = \infty$ であることを示す。これらの結果は、ピフェルト数を通じて二次形式の理論と結びつけられる。

ABSTRACT

We define and study the essential dimension of an algebraic stack. We compute the essential dimension of the stacks Mgn and MgnBar of smooth, or stable, n-pointed curves of genus g. We also prove a general lower bound for the essential dimension of algebraic groups with a non-trivial center. Using this, we find new exponential lower bounds for the essential dimension of spin groups and new formulas for the essential dimension of some finite p-groups. Finally, we apply the lower bound for spin groups to the theory of the Witt ring of quadratic forms over a field k.

研究の動機と目的

• 代数的群やスキームへの概念の拡張として、代数的スタックにおける本質的次元の理論を定義・展開すること。
• genus $g$ の $n$-点付き滑らかでない曲線および安定曲線のモジュライスタック $\mathcal{M}_{g,n}$ および $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の本質的次元を計算すること。
• スピン群の本質的次元に対する新たな指数的下界を確立し、$p$-群の公式を導出すること。
• これらの結果を二次形式の理論、特にウィット環におけるピフェルト数の概念を通じて応用すること。

提案手法

• 関手 $F: \operatorname{Fields}_k \to \operatorname{Sets}$ の本質的次元を、$F(L)$ の要素の定義体の最小超越次元の上限として定義する。
• 代数的スタック $\mathcal{X}$ の本質的次元を、$F_{\mathcal{X}}(L) = \text{Isom}^{\text{cl}}(\mathcal{X}(L))$（$L$ 上の対象の同型類の集合）として定義される関手の本質的次元として定義する。
• 商スタックに関する有限性結果を適用し、滑らかでコンパactsな多様体の標準次元理論を用いて本質的次元を評価する。
• ガーベと中心拡大を用いて、非自明な中心をもつ代数的群の本質的次元を分析する。
• タート曲線の理論と変形理論を用いて $\operatorname{ed}\mathcal{M}_{1,0}$ を計算する。
• ピフェルト形式およびウィットキャンセレーションに関する結果を応用し、$p$-群およびスピン群の本質的次元の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus $g$ の $n$-点付き滑らかな曲線のモジュライスタック $\mathcal{M}_{g,n}$ の本質的次元は何か？
• RQ2 $2g-2+n > 0$ のとき、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ の本質的次元は $\mathcal{M}_{g,n}$ のそれとどのように異なるか？
• RQ3 スピン群および有限 $p$-群の本質的次元の境界は何か？
• RQ4 代数的スタックの本質的次元の結果は、二次形式の理論およびウィット環とどのように関連するか？
• RQ5 $\mathcal{M}_{1,0}$ の本質的次元は決定可能か？ なぜ無限大なのか？

主な発見

• $2g-2+n > 0$ かつ $(g,n) \neq (1,0)$ のとき、$\mathcal{M}_{g,n}$ の本質的次元は $3g-3+n$ であり、粗モジュライ空間の次元と一致する。
• $\mathcal{M}_{1,0}$ の本質的次元は無限大であり、これは、小さな体上で有理点を持たない非自明な楕円曲線の族の存在に起因する。
• $2g-2+n > 0$ のとき、$\operatorname{ed}\overline{\mathcal{M}}_{g,n} = \operatorname{ed}\mathcal{M}_{g,n}$ が成り立ち、コンパクト化によって本質的次元が変わらないことを示す。
• 非自明な中心をもつ代数的群の本質的次元に対する一般の下界を確立し、これにより $\operatorname{ed}\mathrm{Spin}_n$ に対する指数的下界が得られる。
• ピフェルト形式とウィットキャンセレーションを用いて、$p$-群、特に巡回 $p$-群の本質的次元の新たな公式を導出する。
• $n$ 次元のスピン構造をもつ二次形式の群 $\mathrm{T}_n$ の本質的次元は、$\operatorname{ed}_{n}(q) \geq \frac{2^{(n+4)/4} - n - 2}{7}$ を満たし、$\operatorname{ed}\mathrm{Spin}_n$ に対する新たな下界を提供する。