[論文レビュー] Essential dimension of abelian varieties over number fields

Patrick Brosnan, Ramesh Sreekantan|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体上の非自明なアーベル多様体の本質的次元が無限大であることを証明し、楕円曲線に関する予想を解決し、すべてのアーベル多様体へと拡張する。証明は、Tateモジュール上のガロア表現とボゴモロフの定理を用い、特定の$\varepsilon$-adic 構造が、$\Pi/\ell^n$- torsor の本質的次元を通じて無限大の本質的次元を強制することを示す。

ABSTRACT

We affirmatively answer a conjecture in the preprint ``Essential dimension and algebraic stacks,'' proving that the essential dimension of an abelian variety over a number field is infinite.

研究の動機と目的

• 数体上の任意の楕円曲線の本質的次元が無限大であるという予想[3]のConjecture 10.5を解決すること。
• この結果を、数体上の正の次元をもつすべての非自明なアーベル多様体へと拡張すること。
• 場の拡大において$\Pi/\ell^n$- torsion と有限かつ非自明な$\mu_{\ell^\infty}$- torsion が存在することに基づく、無限大本質的次元の一般基準を確立すること。
• カルペンコ＝メルクルジェフ理論を用いた代替的手法よりも短く、自己完結的な証明を提供するとともに、定理3の独立的な価値を強調すること。

提案手法

• フロランスによって確立された、体の拡大における群スキーム$\mathbb{Z}/\ell^n$の本質的次元を用い、アーベル多様体の本質的次元の下界を定める。
• ガロア表現$T_\ell A$上のガロア像のリー代数にボゴモロフの定理を適用し、開部分群を検出する。
• フロベニウストーラスとチェボタレフ密度定理を用いて、$\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell \subset A(L)$ かつ $1 < |\mu_{\ell^\infty}(L)| < \infty$ となるガロア拡大$L/k$を構成する。
• T_\ell A がガロア作用をもつことと、良い還元を持つ非超特異素点におけるフロベニウストーラス$T_\mathfrak{p}$のランクが$\geq 2$であることを用い、非自明なトーラス作用を保証する。
• 分解トーラスの特徴格子上の線形代数を用い、ベクトルを固定し、行列式に非自明に作用するランク1部分トーラスを見つける。
• 本質的次元問題を、$\mu_{\ell^\infty}(L)$ の振る舞いと$\mathrm{GL}(V_\ell A)$におけるガロア群の像の振る舞いに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上の任意の非自明なアーベル多様体は、本質的次元が無限大であるか？
• RQ2 $j$-不変量が整数である場合でも、本質的次元が無限大になり得るか？（これはターティング曲線法を除外する。）
• RQ3 T_\ell A 上のガロア表現にどのような構造的条件が、無限大本質的次元をもたらすか？
• RQ4 場の拡大において$\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$- torsion と有限$\mu_{\ell^\infty}$- torsion が存在するという条件に基づく、無限大本質的次元の均一基準は存在するか？
• RQ5 アーベル多様体$A$が$\mathbb{Z}/\ell^n$- torsor を含む場合、$A$の本質的次元は、$\mathbb{Z}/\ell^n$- torsor の本質的次元によって下から抑えられるか？

主な発見

• 数体上の非自明な任意のアーベル多様体の本質的次元は無限大である。
• 数体$k$上の任意の非自明なアーベル多様体$A$に対して、奇素数$\ell$と体の拡大$L/k$が存在し、$\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell \subset A(L)$ かつ $1 < |\mu_{\ell^\infty}(L)| < \infty$ を満たす。このことは、無限大本質的次元を示唆する。
• 証明は、還元が非超特異でない良い還元素点におけるフロベニウストーラスのランクが2以上であるという事実に依存する。
• 正の密度をもつ素数$\ell$の集合に対して、$T_\ell A$ 上のガロア表現は、$\mathbb{Q}_\ell$ 上でランク$\geq 2$の分解トーラスを含み、必要な部分トーラスの構成を可能にする。
• 体$L$に対して$|\mu_{\ell^\infty}(L)| = \ell^r$ が成り立つとき、$\mathbb{Z}/\ell^n$ の本質的次元は$\max\{1, \ell^{n-r}\}$ として増大し、$n \to \infty$ のとき無限大に発散する。これにより、$\mathrm{ed}(A) = \infty$ が強制される。
• $j$-不変量が整数であっても、この結果は成り立つ。これは、ターティング曲線法の範囲を超えて、予想が解決されたことを示す。