[論文レビュー] Essential dimensions of finite groups

Ming-chang Kang|ArXiv.org|Nov 22, 2006

Finite Group Theory Research参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、BuhlerとReichsteinの中心拡大定理を、特徴量がゼロでない任意の体へ一般化し、特徴量ゼロを超えて基本次元理論を展開する。任意の特徴量の体上での対称群および交代群の基本次元に対する鋭い下界を確立し、$ \mathop{{\rm ed}}_{K}(S_n) \geq \lfloor n/2 \rfloor$ （$ \mathop{{ \rm char}}K \neq 2$ のとき）および $ \mathop{{\rm ed}}_{K}(A_n) \geq 2\lfloor n/4 \rfloor$ （同様の条件下）を証明し、特徴量2の場合にも同様の下界を示す。

ABSTRACT

We study the essential dimension of a finite group G over a field K. A generalization of the central extension theorem of Buhler and Reichstein (Compositio Math. 106 (1997) 159-179, Theorem 5.3) is obtained. We also get lower bounds of essential dimension of symmetric groups and alternating groups over field of any characteristic.

研究の動機と目的

• 特徴量ゼロに限らない任意の特徴量の体へのBuhlerとReichsteinの中心拡大定理の拡張。
• 任意の特徴量の体上での対称群および交代群の基本次元に対する鋭い下界の特定。
• 有限群の基本次元が1である条件の同定、特に二面体群および初等アーベル$p$-群の文脈での同定。
• 正の特徴量の体上でのアーベル群の基本次元に関する結果の一般化、特に$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$の文脈での一般化。
• 特徴量および単位根の存在に応じて、$D_n$の基本次元が1となる体の完全な分類の提供。

提案手法

• 関手的アプローチを避けるために、体拡大と分離代数を用いてBuhlerとReichsteinの手法を任意の体に適応する。
• 体$K$上で$S_n$作用下の交比の体が、$K$上純代数的次元$n-3$の純代数的体であることを証明し、特徴量ゼロの結果を一般化する。
• 群作用の持ち上げと体埋め込みによる基本次元の解析を可能にする一般化された中心拡大定理（定理4.5および4.6）を確立する。
• $GL_2(K)$および$PGL_2(K)$への忠実な表現を用いて基本次元を分析し、特に$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$および二面体群の文脈で有効に活用する。
• Schur–Zassenhaus定理を適用して群拡大を分解し、$[K:\mathbb{F}_p] \geq r$のとき$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$を$GL_2(K)$に埋め込む。
• 付値論と線形独立性を用いて体拡大を分析し、最小代数的次元を用いた基本次元の定義を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴量の体$K$上での$S_n$および$A_n$の基本次元に対する鋭い下界は何か？
• RQ2 有限群$G$が体$K$上基本次元1をとる条件は何か、特に二面体群および初等アーベル$p$-群の文脈で。
• RQ3 特徴量$\mathop{{\rm char}}K = p > 0$のとき、$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$の基本次元は体$K$にどのように依存するか？
• RQ4 BuhlerとReichsteinの中心拡大定理は正の特徴量の体へ拡張可能か？
• RQ5 特徴量2の体上、$D_n$の基本次元が1であるかどうかを決定する要因として、$\zeta_n + \zeta_n^{-1} \in K$の役割は何か？

主な発見

• 任意の体$K$について、$\mathop{{\rm char}}K \neq 2$のとき、$\mathop{{\rm ed}}_K(S_n) \geq \lfloor n/2 \rfloor$および$\mathop{{\rm ed}}_K(A_n) \geq 2\lfloor n/4 \rfloor$。
• 任意の体$K$について、$\mathop{{\rm char}}K = 2$のとき、$\mathop{{\rm ed}}_K(S_n) \geq \lfloor (n+1)/3 \rfloor$および$\mathop{{\rm ed}}_K(A_n) \geq \lfloor n/3 \rfloor$。
• $\mathop{{\rm char}}K \neq p$かつ$\zeta_p \in K$のとき、$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^r$の基本次元は正確に$r$。
• $n \geq 5$のとき、$S_n$の基本次元は$\mathop{{\rm ed}}_K(S_n) \leq n-3$を満たし、正確な値は：$\mathop{{\rm ed}}_K(S_2) = \mathop{{\rm ed}}_K(S_3) = 1$、$\mathop{{\rm ed}}_K(S_4) = \mathop{{\rm ed}}_K(S_5) = 2$、および$\mathop{{\rm ed}}_K(S_6) = 3$（$\mathop{{\rm char}}K \neq 2$のとき）。
• 特徴量2の体$K$について、$\mathop{{\rm ed}}_K(D_n) = 1$であるための必要十分条件は、$n$が奇数かつ$\zeta_n + \zeta_n^{-1} \in K$、または$n = 2$かつ$|K| \geq 4$。
• $\mathbb{F}_2$上では、$\mathop{{\rm ed}}_{\mathbb{F}_2}((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2) = 2$であるが、任意の特徴量2の体$K$について$|K| \geq 4$ならば、$\mathop{{\rm ed}}_K((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2) = 1$。