[論文レビュー] Essential self-adjointness for combinatorial Schr\\"odinger operators III- Magnetic fields

Yves Colin de Verdìère, Nabila Torki-Hamza+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 42

ひとこと要約

この論文は、有界次数の無限重み付きグラフ上で磁気シュレーディンガー作用素のための離散的類似の本質的自己共役性を確立する。磁気場のサイクル上でのホロノミーから導かれる有効ポテンシャルを導入することで、著者らは、この有効ポテンシャルが無限遠点までの距離に対して十分に速く増加する場合、アグモン型推定とゲージ不変な二次形式を用いて、従来の非磁気的結果を磁気的設定へと拡張することを証明する。

ABSTRACT

We define the magnetic Schr\\"odinger on an infinite graph by the data of a magnetic field, some weights on vertices and some weights on edges . We discuss essential self-adjointness of this operator for graphs of bounded degree. The main result is a discrete version of a result of two authors of the present paper.

研究の動機と目的

• 非磁気的シュレーディンガー作用素から磁気的シュレーディンガー作用素への本質的自己共役性理論の拡張。
• 複素数の辺重みと頂点重みを用いたグラフ上での磁気シュレーディンガー作用素の定義、ゲージ不変な二次形式による磁気ポテンシャルの組み込み。
• サイクルに基づくホロノミーと有効ポテンシャルを用いて、連続空間における磁気的条件下での本質的自己共役性の離散的バージョンの確立。
• 有効ポテンシャルが $ N/(2D^2) $ 以上に増加する場合に本質的自己共役性が成立することの証明、ここで $ D $ は無限遠点までの距離、$ N $ は最大次数。
• ゲージ不変な構成とアグモン推定を用いて、従来の非磁気的作用素の結果を磁気場を組み込むことで一般化すること。

提案手法

• 磁気シュレーディンガー作用素は、$ Q_{c,A}(f) = \sum_{\{x,y\}\in E} c_{xy} |f(x) - e^{i\alpha_{xy}} f(y)|^2 $ で定義されるヘルミート形式により与えられ、$ c_{xy} = |C_{xy}| $、$ \alpha_{xy} $ は磁気ポテンシャル。
• ゲージ変換を用いて磁気ポテンシャルを簡略化し、$ U^*A_{xy} = \alpha_{xy} + \sigma_y - \sigma_x $ が成り立ち、二次形式および作用素の固有値スペクトルを保存する。
• 重要な技術的手段として、最大木からサイクルの基底を構成し、ホロノミー $ B_{\gamma} = \exp(i \sum_{e \in \gamma} \alpha_e) $ を定義する。これは磁気フラックスを定量化する。
• 有効ポテンシャル $ W(x) $ は $ \left(1 - \frac{1}{2} \sup_{\gamma \ni x} |B_\gamma| \right) \inf_{\{x,y\} \in E_x} c_{xy} $ として定義され、本質的自己共役性への磁気場の影響を捉える。
• 弱解 $ Hv = 0 $ に対してアグモン型推定を適用し、二次形式が $ \frac{N}{2} \sum \frac{1}{D(x)^2} \omega_x^2 |u(x)|^2 $ を支配するならば、$ v \equiv 0 $ が成り立ち、本質的自己共役性が示される。
• この手法は、グラフの幾何学、磁気ホロノミー、重みおよびポテンシャルの減衰・増加条件との間の相互作用に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非磁気的シュレーディンガー作用素 $ H_{\omega,c,0} $ が本質的自己共役であるならば、すべての磁気場 $ B $ に対して本質的自己共役性が成立するか？
• RQ2 最大次数が無限大であるグラフにおいて、磁気場が存在しない場合でも、どのような条件下で本質的自己共役性が保証されるか？
• RQ3 グラフの距離的完備化がコンパクトであり、本質的自己共役性の条件を満たす場合、固有値の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 サイクル上での磁気ホロノミーから得られる有効ポテンシャルが、一般の重み付きグラフにおける本質的自己共役性を特徴づけるために使用可能か？
• RQ5 ゲージ不変性が、磁気場変換に対して本質的自己共役性基準の堅牢性を保証するために果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 有効ポテンシャル $ W(x) $ が $ W(x) \geq \frac{N}{2D(x)^2} $ を満たす場合、有効次数の有界なグラフ上で磁気シュレーディンガー作用素 $ H_{\omega,c,B} $ は本質的自己共役性を有する。ここで $ D(x) $ は無限遠点までの距離、$ N $ は最大次数。
• 有効ポテンシャルはサイクル上での磁気場のホロノミーから構成され、$ W(x) = \left(1 - \frac{1}{2} \sup_{\gamma \ni x} |B_\gamma| \right) \inf_{\{x,y\} \in E_x} c_{xy} $ であり、磁気ポテンシャルに依存せず、磁気場の性質のみに依存する。
• 辺重み $ c_{xy} = l^a $、頂点重み $ \omega_x = l^{-b} $、磁気ホロノミー $ |B_\gamma| = 2 - \sqrt{2} $ である無限のラダー・グラフにおいて、$ 0 < b < 1 $ かつ $ a + b/2 > 1 $ ならば、本質的自己共役性が成立する。これは $ a > 2 $ の場合に非磁気的作用素 $ H_{\omega,c,0} $ が本質的自己共役でない場合でも成立する。
• この手法はゲージ不変なアグモン推定に依存し、$ l^2 $-解 $ Hv = 0 $ が、二次形式が $ D^{-2} $-重み付きノルムを支配するならば、必ず $ v \equiv 0 $ であることを示す。
• この結果は、コロン・ド・ヴェルディエとトルクの連続空間における定理の離散的バージョンであり、サイクルに基づくホロノミーと有効ポテンシャルを用いて、磁気的作用素へのフレームワークの拡張を実現する。
• この枠組みは最大木を持つグラフに適用可能であり、非木辺からサイクルの基底を構成でき、磁気フラックスのグローバルな制御が可能になる。