[論文レビュー] Essential singularities of Euler products

Gautami Bhowmik, Jan‐Christoph Schlage‐Puchta|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2010

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ひとこと要約

この論文は、有理関数 $ p $ および $ p^{-s} $ の多項式 $ W(X,Y) $ を用いたオイラー積を持つディリクレ級数の本質的特異点を分類し、主部が非巡回的であるか、または $ \Re s = \beta $ の近くに局所的零点が集積する場合に自然境界が生じることを証明している。主な貢献は、多項式 $ W(X,Y) $ の構造に基づく、メロモーライック続行の挙動を完全に五つのケースに分類したことであり、エスターマンの方法が一般には失敗すること、および多変数ゼータ関数は1.5変数の場合よりも技術的に取り扱いやすいことを示している。

ABSTRACT

We classify singularities of Dirichlet series having Euler products which are rational functions for p and p^{-s} for p a prime number and give examples of natural boundaries from zeta functions of groups and height zeta functions.

研究の動機と目的

• 有理関数 $ W $ を用いた形 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ のディリクレ級数の特異点を分類すること。
• このような級数が $ \Re s = \beta $ より右にメロモーライック続行を許す条件を特定すること、または $ \Re s = \beta $ に自然境界を有することを示すこと。
• エスターマンの古典的メソッド（極・零点の集積に基づく）が、一般に信じられているメロモーライック続行に関する予想を証明できないことを示すこと。
• 1.5変数問題（1つの複素変数、2変数多項式）と完全な多変数ケースの複雑さを比較すること。
• 多変数ゼータ関数 $ D(s_1, s_2) = \prod_p W(p^{-s_1}, p^{-s_2}) $ が1.5変数の場合よりも解析が容易であり、自然境界の完全な分類が可能であることを示すこと。

提案手法

• 収束域と続行域を定めるために、$ \alpha = \sup\left\{ \frac{n+1}{m} : a_{n,m} \neq 0 \right\} $ および $ \beta = \sup\left\{ \frac{n}{m} : a_{n,m} \neq 0 \right\} $ を定義する。
• 多項式 $ W $ の「主部」$ \tilde{W} $ を導入し、これは $ \frac{n}{m} = \beta $ を達成する項のみからなる。この主部がオイラー積の解析的挙動を支配する。
• 主部 $ \tilde{W} $ が巡回的かどうか、$ W \neq \tilde{W} $ かどうか、および $ W(p, p^{-s}) $ の局所的零点が $ \Re s = \beta $ の右側に集積するかどうかに基づき、$ D(s) $ の挙動を五つのケースに分類する。
• 短区間における素数定理を用いて、$ \tilde{W} $ が非巡回的であれば、$ W(p, p^{-s}) $ が $ \Re s > \beta $ で零点を持つような素数の集合が無限に存在することを示す。
• 特に、$ D(s_1, s_2) $ が $ \mathbb{C}^2 $ にメロモーライック続行可能であることと、$ W $ が巡回的であることとが同値であるという結果を多変数ゼータ関数の理論から応用する。
• エスターマンの方法（$ \Re s = \beta $ 上での極・零点の集積に基づく）が、特にリーマンゼータ関数の零点が干渉する場合にすべてのケースを捉えきれないことを示す反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数 $ W $ を用いたディリクレ級数 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ が $ \Re s = \beta $ より右にメロモーライック続行を許す条件は何か？
• RQ2 なぜエスターマンの方法（極・零点の集積に基づく）は、有限個の $ \zeta $-関数の積に限って続行可能であるという予想を証明できないのか？
• RQ3 1.5変数オイラー積の挙動と完全な多変数ゼータ関数 $ D(s_1, s_2) = \prod_p W(p^{-s_1}, p^{-s_2}) $ の挙動とはどのように異なるか？
• RQ4 リーマンゼータ関数の零点が $ D(s) $ のメロモーライック続行を妨げる役割を果たすのはどのような場合か？また、それらの零点はどの程度制御可能か？
• RQ5 自然境界 $ \Re s = \beta $ は、主部 $ \tilde{W} $ の巡回的性質によって完全に特徴付けられるか？例外は何か？

主な発見

• オイラー積 $ D(s) = \prod_p W(p, p^{-s}) $ は半平面 $ \Re s > \alpha $ で収束し、$ \alpha $ および $ \beta $ は $ W(X,Y) $ の指数から定義される。
• ケース（1）：$ W $ が巡回的であり、ユニタリ因子を除いた後 $ W = \tilde{W} $ であれば、$ D(s) $ はリーマンゼータ関数の有限個の積であり、$ \mathbb{C} $ にメロモーライック続行可能である。
• ケース（2）：$ \tilde{W} $ が非巡回的であれば、$ \Re s = \beta $ 上のすべての点が遮害点（障害点）である。これは、極または零点の集積による本質的特異点である。
• ケース（3）：$ W \neq \tilde{W} $、$ \tilde{W} $ が巡回的であり、かつ $ \frac{n}{m} < \beta < \frac{n+1}{m} $ を満たす $ (n,m) $ が無限に存在する場合、$ \beta $ は遮害点である。
• ケース（4）：$ W \neq \tilde{W} $、$ \tilde{W} $ が巡回的であり、$ \frac{n}{m} < \beta < \frac{n+1}{m} $ を満たす $ (n,m) $ は有限個だが、無限個の素数 $ p $ に対して $ W(p, p^{-s}) $ が $ \Re s_0 > \beta $ で零点を持つ場合、$ \Re s = \beta $ 上のすべての点が遮害点である。
• ケース（5）：上記のいずれの条件も満たさない場合、$ \Re s = \beta $ 上のいかなる点も遮害点ではなく、このケースは極・零点の集積では検出できない。これはエスターマンの方法ではカバーされない。