[論文レビュー] Essentiality of the Non-stoquastic Hamiltonians and Driver Graph Design in Quantum Optimization Annealing

Vicky Choi|arXiv (Cornell University)|May 5, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、適切に設計されたXXドライバーグラフを備えた非ストォクアスティックハミルトニアンが、二重反対交差構造を形成することで、多項式時間内に断熱的でない動作を可能にする十分なスペクトルギャップを確保し、量子アニーリングにおける指数的量子速度向上を実現できることを示している。主な貢献は、問題構造の事前知識がなくても、このような非ストォクアスティックドライバーを体系的に設計する手法を提供することであり、難易度の高い最適化問題において、ストォクアスティックおよび古典的アルゴリズムを上回る性能を達成している。

ABSTRACT

One of the distinct features of quantum mechanics is that the probability amplitude can have both positive and negative signs, which has no classical counterpart as the classical probability must be positive. Consequently, one possible way to achieve quantum speedup is to explicitly harness this feature. Unlike a stoquastic Hamiltonian whose ground state has only positive amplitudes (with respect to the computational basis), a non-stoquastic Hamiltonian can be eventually stoquastic or properly non-stoquastic when its ground state has both positive and negative amplitudes. In this paper, we describe that, for some hard instances which are characterized by the presence of an anti-crossing (AC) in a transverse-field quantum annealing (QA) algorithm, how to design an appropriate XX-driver graph (without knowing the prior problem structure) with an appropriate XX-coupler strength such that the resulting non-stoquastic QA algorithm is proper-non-stoquastic with two bridged anti-crossings (a double-AC) where the spectral gap between the first and second level is large enough such that the system can be operated diabatically in polynomial time. The speedup is exponential in the original AC-distance, which can be sub-exponential or exponential in the system size, over the stoquastic QA algorithm, and possibly the same order of speedup over the state-of-the-art classical algorithms in optimization. This work is developed based on the novel characterizations of a modified and generalized parametrization definition of an anti-crossing in the context of quantum optimization annealing introduced in [4].

研究の動機と目的

• 小スケールのスペクトルギャップを示すハードな最適化問題を解く際、ストォクアスティック量子アニーリングの限界を克服すること。
• 非ストォクアスティックハミルトニアンを用いて、有利な反対交差構造を設計することで、より高速な量子アニーリングが可能かどうかを検討すること。
• 二重反対交差構造を形成するXXドライバーグラフおよびカップラー強度を体系的に設計する手法を開発し、断熱的でない動作を可能にする十分なスペクトルギャップを確保すること。
• このアプローチが、ストォクアスティック量子アニーリングおよび、場合によっては古典的最適化アルゴリズムを上回る指数的スピードアップを達成できることを実証すること。

提案手法

• 著者らは、非ストォクアスティック効果を含む量子最適化における反対交差の一般化されたパラメータ化を導入し、先行研究を拡張した。
• スペクトルギャップの解析には、反対交差点付近での左・右基底状態の重なりを計算するために、修正版ブリュアン＝ヴァイナー摂動論を用いた。
• この手法により、ギャップに寄与する主要因が、左状態と右状態の間でドライバー距離（t）が最小となる状態であることが特定された。これらの寄与の係数は距離に伴い幾何級数的に減少する。
• XXカップラー強度 $ J_{\mathsf{xx}} > 0 $ を調整することで、系を非ストォクアスティックにし、大きなギャップを持つ二重反対交差構造を実現した。
• ドライバーグラフ $ G_{\mathsf{driver}} $ は、基底状態と第一励起状態を複数の短い経路で接続するように設計され、振幅の構成的干渉によってギャップを最大化した。
• このアプローチでは、初期基底状態が均一重ね合わせ状態となるように、カタリスト型ハミルトニアン $ \mathcal{H}_{\mathsf{driver}} = \mathcal{H}_X + s\mathcal{H}_{\mathsf{XX}} $ を用い、実験的実装可能性を確保した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンジニアリングされたXXドライバーを備えた非ストォクアスティックハミルトニアンは、ハードな最適化問題を解く際、ストォクアスティック量子アニーリングに対して顕著な優位性を示せるか？
• RQ2 スペクトルギャップを最大化し、断熱的でない動作を可能にするために、二重反対交差構造を体系的に設計する方法は何か？
• RQ3 ドライバーグラフのトポロジーおよびカップラー強度は、反対交差ギャップの大きさにどのように寄与するか？
• RQ4 元の問題に小さな断熱的ギャップがある場合でも、スペクトルギャップを十分に大きくして、多項式時間内に断熱的でない進化を可能にできるか？

主な発見

• 提案された非ストォクアスティック量子アニーリング手法は、ストォクアスティック量子アニーリングに対して指数的スピードアップを達成し、元の反対交差距離に指数的に依存するスピードアップスケーリングを示した。
• XXドライバーによって形成された二重反対交差構造により、大きなスペクトルギャップが確保され、多項式時間内に断熱的でない動作が可能となった。
• スペクトルギャップは、ドライバーグラフにおける左状態と右状態の間の最短経路に支配され、振幅係数は距離とともに幾何級数的に減少する。
• この手法は、問題構造の事前知識がなくても機能し、XXドライバーグラフおよびカップラー強度のエンジニアリング能力に依存するのみである。
• この手法は摂動に対して頑健であり、反対交差が弱くても、振幅の幾何級数的減少が維持される限り、効果的である。