[論文レビュー] Estimate for Initial MacLaurin Coefficients of Certain Subclasses of Bi-univalent Functions

Pranay Goswami, Badr S. Alkahtani+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Mar 16, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、核関数 $ k(z) $ を用いた畳み込みによって定義される、ある種の双一意的関数の第二および第三のマクローリン係数 $ a_2 $ と $ a_3 $ の鋭い推定値を、境界回転が有界である関数のクラス $ \mathcal{P}_m(\beta) $ から得られる係数の上限を用いて確立する。主な貢献は、特に双星型および双凸関数に対して、Srivastava らの先行研究を拡張・改善する一般化されたフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper, estimates for second and third MacLaurin coefficients of certain subclasses of bi-univalent functions in the open unit disk defined by convolution are determined, and certain special cases are also indicated. The main result extends and improve a recent one obtained by Srivastava et al.

研究の動機と目的

• 畳み込みによって定義された新しいクラスの双一意的関数の第二および第三のテイラー＝マクローリン係数 $ a_2 $ と $ a_3 $ の鋭い上界を導出すること。
• Srivastava ら [12] の最近の双一意的関数の係数推定値を一般化・改善すること、特に双星型および双凸関数に対して。
• 核関数 $ k \in \sigma $ を用いた畳み込みに基づいて、二つの新しいクラス $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ および $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ を導入・分析すること。
• 提案されたクラスの特別な場合として既存の双星型および双凸関数に関する結果を統一・拡張すること。
• 非退化条件のもとで、核係数 $ k_2, k_3 $、パラメータ $ \beta $、およびインデックス $ m \geq 2 $ を用いて、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の明示的かつ計算可能な上限を提供すること。

提案手法

• 固定された核関数 $ k \in \sigma $ を用いたハダマード積（畳み込み）を用いて、二つの新しい双一意的関数のクラス $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ および $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ を定義する。
• 境界回転が有界である関数のクラス $ \mathcal{P}_m(\beta) $ を用いる。ここで $ \operatorname{Re} P(z) > \beta $ であり、関連する測度の全変動は $ m $ で有界である。
• 関数 $ f $ の逆関数 $ g = f^{-1} $ を用いて、$ (f*k)(z)/z $、$ (g*k)(w)/w $ およびその対数微分の級数展開を導出し、係数推定値を $ \mathcal{P}_m(\beta) $ クラスに結びつける。
• 関数 $ \mathcal{P}_m(\beta) $ に属する関数の係数に関する既知の上限 $ |h_n| \leq m(1 - \beta) $ を、畳み込み積の対数微分に適用する。
• 代数的消去法および代入法を用いて、核係数 $ k_2, k_3 $ およびパrameter $ \alpha, \beta, m $ を用いて、$ a_2 $ および $ a_3 $ の方程式系を解く。
• 得られた式と $ \mathcal{P}_m(\beta) $ からの係数上限を組み合わせることで、$ k_2, k_3 $ に対して非退化条件が成り立つ場合に限り有効な、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の明示的上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 畳み込みによって定義された双一意的関数の部分クラス $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ における第二および第三のマクローリン係数 $ a_2 $ と $ a_3 $ の鋭い推定値は何か？
• RQ2 $ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ の係数推定値は、核関数 $ k $ およびパrameter $ \alpha, \beta, m $ にどのように依存するか？
• RQ3 導出された $ |a_2| $ および $ |a_3| $ の上限は、Srivastava ら [12] の双星型および双凸関数に関する結果をどのように一般化・改善するか？
• RQ4 非退化条件のもとで、核係数 $ k_2, k_3 $ およびパrameter $ \alpha, \beta, m $ を用いて、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の明示的表現は何か？
• RQ5 核関数 $ k $ に対してどのような条件下で、$ \mathcal{BV}^k(m;\alpha,\beta) $ の係数推定値が有効であり、特に $ 2(1+2\alpha)k_3 - (1+3\alpha)k_2^2 \neq 0 $ の場合にどうなるか？

主な発見

• クラス $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ に対して、$ |a_2| $ の上限は $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $ であり、畳み込みおよび $ \mathcal{P}_m(\beta) $ の制約から導出される。
• クラス $ \mathcal{BR}^k(m;\beta) $ に対して、$ |a_3| $ の上限は $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{2|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{2|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|4k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $ であり、複数の推定値を組み合わせたものである。
• $ \alpha = 0 $ に対応する部分クラス $ \mathcal{S}_m^k(\beta) $ に対して、$ |a_2| $ の上限は $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |2k_3 - k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ |k_2| } \right\} $ であり、$ |a_3| $ の上限は $ m, \beta, k_2, k_3 $ を含む三つの式の最小値である。
• $ \alpha = 1 $ に対応する部分クラス $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $ に対して、$ |a_2| $ の上限は $ \min\left\{ \sqrt{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } }, \frac{m(1-\beta)}{ 2|k_2| } \right\} $ であり、パrameter $ \alpha $ が係数制約に与える影響を反映している。
• $ \mathcal{C}_m^k(\beta) $ における $ |a_3| $ の上限は $ \min\left\{ \frac{m(1-\beta)}{ |6k_3 - 4k_2^2| } + \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)(1 + m(1-\beta))}{6|k_3|}, \frac{m(1-\beta)}{6|k_3|} \left(1 + \frac{m(1-\beta)|3k_3 - k_2^2|}{|k_2|^2} \right) \right\} $ であり、$ \alpha = 0 $ の場合よりもきびしい制約であることが示されている。
• これらの結果は、Srivastava ら [12] の研究を一般化・改善しており、特に畳み込みに基づく双一意的関数クラスにおける係数推定値の統一的フレームワークを提供し、古典的な双星型および双凸関数の範囲を超えて適用可能な関数の範囲を拡張している。