[論文レビュー] Estimate of the Convergence Rate of Finite Element Solutions to Elliptic Equations of Second Order with Discontinuous Coefficients

Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、2次元における不連続係数を有する2階楕円型問題に線形有限要素法を適用した場合の最適誤差推定を確立する。変動点におけるテイラー展開と重み付き積分推定に基づく新規な解析を用いて、収束速度 ‖u−uₕ‖₁,Ω ≤ Ch|ln h|¹ᐟ²‖u‖₂,Ω₁₊Ω₂ が証明され、不連続係数が滑らかさのない場合と比較して収束をわずかに劣化させることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we consider elliptic boundary value problems with discontinuous coefficients and obtain the asymptotic optimal error estimate $\|u-u_k\|_{1,Ω}\leqslant Ch|\ln h|^{1/2}\|u\|_{2,Ω_1+Ω_2}$ for triangle linear elements.

研究の動機と目的

• 不連続係数を有する2階楕円型偏微分方程式に対する線形有限要素法の収束挙動を分析すること。
• 2次元における係数の不連続性が有限要素誤差推定に与える影響を定量化すること。
• Ω₁ と Ω₂ に分かれる部分領域を分離する区分的滑らかさを有する界面 S を考慮した、漸近的に最適な誤差境界を導出すること。
• 係数のジャンプによって全領域における H² 正則性が欠如するにもかかわらず、収束速度がほとんど最適のままであることを確立すること。

提案手法

• 不連続係数 B と低位項 σ を有するモデル問題の変分式を、双線形形式 a(u,v) を用いて定式化する。
• 界面 S を尊重する準均一な三角形分割に沿った、連続的かつ区分的線形関数からなる有限要素空間 Sₕ を適用する。
• 界面 S と交差する不規則な要素を取り扱うために、変動点を基点とするテイラー展開に基づく新規な誤差解析手法を採用する。
• 界面付近における勾配の挙動を制御するために、変数変換と重み付き積分推定を導入する。
• 2つの重要な補題を活用する：1つは特異積分の L² 推定（非等方的カーネル）に用いられ、もう1つは測度依存のソボレフ型埋め込みを用いた部分集合上での L² ノルム推定に用いられる。
• h と |ln h| に依存する項を最小化するために ε = 1/(2|ln h|) を最適選択することで誤差境界を最適化し、最終的な収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続係数の存在が2次元における線形有限要素法の収束速度にどのように影響するか？
• RQ2 係数のジャンプによって全領域における H² 正則性が欠如する状況下でも、H¹-適合有限要素法に対して最適誤差推定を導出可能か？
• RQ3 界面 S が区分的滑らかで、係数 B が S をはさんで不連続である場合、誤差がメッシュサイズ h にどのように鋭く依存するか？
• RQ4 係数が不連続である場合、標準的な有限要素誤差推定はどの程度崩壊または劣化するか？

主な発見

• 有限要素解 uₕ は、H¹ ノルムにおいて、‖u−uₕ‖₁,Ω ≤ Ch|ln h|¹ᐟ²‖u‖₂,Ω₁₊Ω₂ の収束速度で正確解 u に収束する。
• 対数因子 |ln h|¹ᐟ² は、界面 S 近傍の不規則な要素の解析から生じており、与えられた仮定のもとでこれが最適であることが示されている。
• 係数 B の不連続性があっても誤差推定は漸近的に最適のままであり、滑らかな係数の場合と比較して収束がわずかに劣化するにとどまることを示している。
• 解析により、u が H²(Ω) に属さない場合でも、H¹ 誤差が H² 半ノルム ‖u‖₂,Ω₁₊Ω₂ に比例する定数倍の h|ln h|¹ᐟ² で有界であることが証明された。
• 誤差を規則的要素と不規則な要素に分解し、それぞれに適合した推定を適用することで、全領域における H² 正則性の欠如に対しても効果的に対処した。