[論文レビュー] Estimates for differential operators of vector analysis involving $L^1$-norm

Vladimir Maz’ya|ArXiv.org|Aug 4, 2008

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上のスカラー場およびベクトル場における $L^1$-ノルムを含む、新たなハーディー型およびソボレフ型不等式を確立し、H. ブレジスが提起した、発散なしベクトル場に対する $L^1$-推定の有効性に関する問題を解決する。主な貢献は、勾配の $L^1$-ノルムとラプラシアンの $L^1$-ノルムを結ぶ鋭い不等式であり、単位球面上での同次関数の球面平均の消えることという必要十分条件を含む。

ABSTRACT

New Hardy and Sobolev type inequalities involving $L^1$-norms of scalar and vector-valued functions in $\Bbb{R}^n$ are obtained. The work is related to some problems stated in the recent paper by Bourgain and Brezis

研究の動機と目的

• 発散なしベクトル場に対する $L^1$-ノルムを含むハーディー型不等式の有効性について、H. ブレジスが提起した未解決問題を解決すること。
• ニュートンのポテンシャルおよび球面上の同次関数を含む微分作用素の $L^1$-推定の必要十分条件を確立すること。
• これらの推定をベクトル値関数および特に $\mathcal{H}^{-s}(\mathbb{R}^n)$ を含む負の順序のヒルベルト＝ソボレフ空間に拡張すること。
• 楕円型およびカール型方程式の解の存在に関する双対性に基づく結果を、$L^1$-に基づく関数空間において提示すること。

提案手法

• 証明は、$|x|$ に関する空間的アニュラスに基づく、ニュートンのポテンシャルの勾配を局所化した成分 $A_1, A_2, A_3, A_4$ に分解することに依存する。
• 各成分の推定は、点ごとの評価とミンコフスキーの不等式を用いて得られ、関数 $\Phi$ の同次性およびリプシッツ連続性を仮定する。
• 球面平均条件 $\int_{S^{n-1}} \Phi \, d\omega_x = 0$ の必要性は、デルタ関数の径方向モリフィケーションを用いて示される。
• 十分性は、三角不等式と $\Phi$ のリプシッツ性を用いて $L^q$-型積分を評価することで証明され、結果として $L^1$-ノルムの制御が得られる。
• 双対性およびフーリエ解析を用いて、特に $s = n/2$ および $s = 1+n/2$ の場合のヒルベルト＝ソボレフ空間 $\mathcal{H}^{-s}$ における推定を得る。
• ベクトル場への拡張は、$\mathrm{div}$, $\mathrm{curl}$, およびラプラシアンを含む恒等式を用い、特に $\mathcal{H}^{-5/2}$ および $L^1$-に基づくノルムにおける推定が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 発散なし $\Delta{\bf u}$ に対して、不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} |D{\bf u}(x)| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta{\bf u}(x)| \, dx$ は成り立つか？
• RQ2 定数 $a_j$ に対して、すべての $u \in C_0^\infty$ に対して不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} \sum_j a_j \left| \frac{\partial u}{\partial x_j} \right| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta u| \, dx$ が成り立つための条件は何か？
• RQ3 $L^1$ ベクトル場で $\mathrm{div}\,{\bf g} \in \mathcal{H}^{-1-n/2}$ であるとき、推定 $\left| \|{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-n/2}}^2 - n \|\mathrm{div}\,{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-1-n/2}}^2 \right| \leq C \|{\bf g}\|_{L^1}^2$ を確立できるか？
• RQ4 $\mathbb{R}^3$ において、${\bf f} \in \mathcal{H}^{1/2}$ かつ $\mathrm{div}\,{\bf f} = 0$ のとき、方程式 $\mathrm{curl}\,{\bf u} = {\bf f}$ に対して双対性に基づく解の存在結果が得られるか？

主な発見

• すべての $u \in C_0^\infty$ に対して、不等式 $\left| \int_{\mathbb{R}^n} \sum_j a_j \left| \frac{\partial u}{\partial x_j} \right| \frac{dx}{|x|} \right| \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\Delta u| \, dx$ が成り立つのは、$\sum_j a_j = 0$ であるときかつそのときに限る。
• スカラー関数に対して、不等式 $\sup_{R>0} \left| \int_{|x|<R} \Phi(\nabla u(x)) |x|^{n(q-1)-q} dx \right| \leq C \|f\|_{L^1}^q$ が成り立つのは、$\Phi$ が $q \in [1, \frac{n}{n-1})$ で同次的であり、$\int_{S^{n-1}} \Phi(x) \, d\omega_x = 0$ であるときかつそのときに限る。
• すべての $\mathbf{g} \in L^1$ で $\mathrm{div}\,{\bf g} \in \mathcal{H}^{-1-n/2}$ であるとき、推定 $\left| \|{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-n/2}}^2 - n \|\mathrm{div}\,{\bf g}\|_{\mathcal{H}^{-1-n/2}}^2 \right| \leq \frac{(2\sqrt{\pi})^{-n}}{\Gamma(n/2)} \|{\bf g}\|_{L^1}^2$ が成り立つ。
• 双対不等式により、[BB2] の未解決問題2（$l=1$, $p=2$, $s=n/2$）に対して肯定的な答えが得られる。
• $\mathbb{R}^3$ において、方程式 $\mathrm{curl}\,{\bf u} = {\bf f}$ は、${\bf f} \in \mathcal{H}^{1/2}$ かつ $\mathrm{div}\,{\bf f} = 0$ ならば、$\mathcal{H}^{3/2} \cap L^\infty$ 内に解をもつ。
• $\mathrm{curl}\,{\bf w} = {\bf f} + {\bf g}$, $\mathrm{div}\,{\bf w} = 0$, および $\int {\bf g} = 0$ のとき、推定 $\left| \|\Delta{\bf w} + \mathrm{curl}\,{\bf f}\|_{\mathcal{H}^{-5/2}}^2 - 2\|\mathrm{div}\,{\bf f}\|_{\mathcal{H}^{-5/2}}^2 \right| \leq \frac{1}{4\pi^2} \|{\bf g}\|_{L^1}^2$ が成り立つ。