[論文レビュー] Estimates for the Initial Coefficients of Bi-univalent Functions

S. Sivaprasad Kumar, Virendra Kumar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2012

Analytic and geometric function theory参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、正の実部をとる正則関数への係数比較と劣微分を用いて、二重単葉関数の初期係数 $ a_2 $ および $ a_3 $ の鋭い推定値を、そのような関数への劣微分を用いて定義された部分族において確立する。著者らは、さまざまな関数族の制約下で $ |a_2| $ および $ |a_3| $ の明示的な上界を導出し、既存の結果を一般化するとともに、二重星型、二重凸型、および関連する単葉関数族に対する既知の推定値を精緻化する。

ABSTRACT

A bi-univalent function is a univalent function defined on the unit disk with its inverse also univalent on the unit disk. Estimates for the initial coefficients are obtained for bi-univalent functions belonging to certain classes defined by subordination and relevant connections with earlier results are pointed out.

研究の動機と目的

• 二重単葉関数の初期係数 $ a_2 $ および $ a_3 $ の改善された係数推定値を導出すること。
• 正の実部をとる関数への劣微分を用いて定義されるクラスを導入することで、以前の係数境界に関する結果を拡張すること。
• 二重星型および二重凸型関数（順序 $ \beta $）および強力に二重星型関数に関する以前の知見を一般化すること。
• 劣微分および係数比較技術を用いて、共通の枠組み内で既存の推定値を統合・精緻化すること。
• 主要関数 $ \varphi $ のパラメータに関して、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の明示的かつ鋭い境界を提供すること。

提案手法

• 単位円板上で両方の関数 $ f $ および $ f^{-1} $ が単葉である二重単葉関数 $ f \in \sigma $ を定義し、テイラー展開 $ f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n $ を用いる。
• 劣微分を用いる：$ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ および $ F = f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $、ここで $ \varphi $ は正則で単葉であり、$ \operatorname{Re}(\varphi(z)) > 0 $、$ \varphi(0) = 1 $、$ \varphi'(0) > 0 $ を満たす。
• 補助関数 $ p(z) = \frac{1 + w(z)}{1 - w(z)} $、$ q(w) = \frac{1 + v(w)}{1 - v(w)} $ を導入し、$ w, v $ は $ |w(z)| \leq |z| $ を満たす正則関数である。これらは劣微分条件を表現する。
• 係数 $ a_2 $、$ a_3 $ を、$ \varphi(z) = 1 + B_1 z + B_2 z^2 + \cdots $ の係数 $ B_1, B_2 $ および $ p $、$ q $ の係数 $ p_1, p_2, q_1, q_2 $ で表現する。
• 正の実部をとる関数のヘルグロッツ表現から導かれる境界 $ |p_i| \leq 2 $、$ |q_i| \leq 2 $ を適用する。
• 三角不等式および係数の境界を用いて、$ a_2^2 $ および $ a_3 $ の明示的な式を $ B_1, B_2 $ および $ p_i, q_i $ の関数として導出し、最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ \varphi $ への劣微分によって定義される部分族における二重単葉関数について、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の最良の上界は何か？
• RQ2 関数 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ および $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $、または $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\varphi) $ の場合、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の推定値はどのように変化するか？
• RQ3 特殊な場合、例えば $ \varphi(z) = (1 + Az)/(1 + Bz) $ または $ \varphi(z) = (1 + (1 - 2\beta)z)/(1 - z) $ の場合、境界を鋭くできるか？
• RQ4 Tan（1985年）や Kedzierawski（1985年）の既知の結果と比較して、新しい推定値はどのように異なるか？
• RQ5 関数 $ f $ および $ f^{-1} $ がともに順序 $ \beta $ の星型または凸型である場合、$ |a_2| $ および $ |a_3| $ の最適境界は何か？

主な発見

• 関数 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ および $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\varphi) $ の場合、$ |a_2| \leq \sqrt{5(B_1 + |B_2 - B_1|)}/3 $ および $ |a_3| \leq 7(B_1 + |B_2 - B_1|)/9 $ の境界が確立される。
• 関数 $ f \in \mathcal{S}^*(\varphi) $ および $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\varphi) $ の場合、推定値は $ |a_2| \leq \sqrt{(B_1 + |B_2 - B_1|)/2} $ および $ |a_3| \leq (B_1 + |B_2 - B_1|)/2 $ である。
• 関数 $ \varphi(z) = (1 + (1 - 2\beta)z)/(1 - z) $ の場合、境界は $ |a_2| \leq \sqrt{10(1 - \beta)}/3 \approx 1.054 $ および $ |a_3| \leq 14(1 - \beta)/9 \approx 1.56 $ に簡略化され、$ \beta = 0 $ のとき成立する。
• 関数 $ f \in \mathcal{K}(\beta) $ および $ f^{-1} \in \mathcal{R}(\beta) $ の場合、推定値は $ |a_2| \leq \sqrt{3(1 - \beta)}/2 \approx 0.867 $ および $ |a_3| \leq 5(1 - \beta)/6 \approx 0.833 $ である。$ \beta = 0 $ のとき、$ |a_2| \leq \sqrt{3}/2 $、$ |a_3| \leq 5/6 $ が得られる。
• 関数 $ f \in \mathcal{S}^*(\beta) $ および $ f^{-1} \in \mathcal{K}(\beta) $ の場合、境界は $ |a_2| \leq \sqrt{1 - \beta} $ および $ |a_3| \leq 1 - \beta $ である。$ \beta = 0 $ のとき、$ |a_2| \leq 1 $、$ |a_3| \leq 1 $ が得られる。
• 本結果は、Tan（1985年）、Kedzierawski（1985年）、Brannan と Taha（1985年）の以前の推定値を一般化・精緻化し、劣微分を用いた二重単葉関数族における係数境界の統一的枠組みを提供する。