[論文レビュー] Estimates for the Kantorovich distances between solutions to the nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equation with monotone drift

Oxana A. Manita|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、同一の拡散係数を有するが異なる拡散項と初期条件を有する非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解同士のKantorovich距離について、定量的見積もりを確立する。ドリフト項の単調性の性質を活用することで、非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の適切な定式化解析を支える安定性バインディングを導出する。

ABSTRACT

We obtain estimates for the Kantorovich functionals between solutions to different Fokker -- Planck -- Kolmogorov equations for measures with same diffusion part but different drifts and different initial conditions. We show possible applications of such estimates to the study of the well-posedness for nonlinear equations.

研究の動機と目的

• ドリフトおよび初期条件の摂動に対して非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解の安定性を分析すること。
• Kantorovich関数型を用いて、解の距離がドリフトおよび初期測度の差にどのように依存するかを定量的に評価すること。
• 度量的見積もりを用いて、非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の適切な定式化の理論的基盤を確立すること。
• ドリフトに単調性仮定を課すことにより、既存の線形Fokker-Planck方程式に関する結果を非線形設定に拡張すること。

提案手法

• 解に付随する確率測度間の距離を測るための度量としてKantorovich関数型を用いる。
• 解の差の進化を制御するため、ドリフト項に単調性条件を適用する。
• 結合技術を用いて、解間のKantorovich距離を含む微分不等式を導出する。
• 解の差異の時間発展をバインドするため、Wasserstein型度量構造を用いる。
• 同一の拡散係数を有するが異なるドリフトおよび初期測度を有する解を、積分的見積もりによって比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるドリフトおよび初期条件を有する非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解は、時間の経過とともにどのように乖離するか？
• RQ2 ドリフトの単調性は、解間のKantorovich距離を制御するために果たす役割は何か？
• RQ3 同一の拡散係数のもとで、解の距離について定量的見積もりを導出可能か？
• RQ4 これらの見積もりは、非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の適切な定式化をどの程度支持するか？

主な発見

• 本稿では、同一の拡散係数を有するが異なるドリフトおよび初期測度を有する非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の解間のKantorovich距離について、明示的な見積もりを導出する。
• ドリフトの単調性により、Kantorovich距離において収縮的挙動が保証され、安定性バインディングが得られる。
• 初期条件およびドリフト関数の摂動に対しても、見積もりは頑健であり、解の感度を定量的に測る指標を提供する。
• これらの結果は、測度値解の文脈における非線形Fokker-Planck-Kolmogorov方程式の理論的枠組みの適切な定式化を支持する。