[論文レビュー] Estimates for the strong approximation in multidimensional central limit theorem

A. Yu. Zaîtsev|ArXiv.org|Apr 24, 2003

Probability and Risk Models参考文献 29被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、有限の指数モーメントをもつ独立なd次元確率ベクトルの和に対する強いガウス近似の明示的で次元に依存する境界を確立する。ダイアディック構成と分位数変換を用いて、Komlós–Major–TusnádyおよびSakhanenkoの1次元結果を多変量の場合に一般化し、近似誤差の指数的尾部境界を通じて次元dおよび分布パラメータへの明示的依存関係を提供する。

ABSTRACT

In a recent paper the author obtained optimal bounds for the strong Gaussian approximation of sums of independent $\R^d$-valued random vectors with finite exponential moments. The results may be considered as generalizations of well-known results of Komlós--Major--Tusnády and Sakhanenko. The dependence of constants on the dimension $d$ and on distributions of summands is given explicitly. Some related problems are discussed.

研究の動機と目的

• 独立な確率ベクトルの和について、1次元から多変量設定への最適な強い近似結果を拡張すること。
• 近似定数の次元dおよび和項分布の尾部挙動への明示的依存関係を提供すること。
• SakhanenkoおよびKomlós–Major–Tusnádyの1次元結果を、有限の指数モーメントをもつd次元確率ベクトルに一般化すること。
• 多変量不変性原理におけるプロホロフ距離および近似誤差の鋭い尾部境界を確立すること。
• 高次元における強い近似において共分散構造の条件が必要かどうかという未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• 条件付き分位数変換を用いて、Komlós–Major–Tusnádyのダイアディック近似スキームを多変数の場合に適応する。
• 元の$X_i$と同一の一次および二次モーメントをもつ独立なガウスベクトル$Y_1, \dots, Y_n$を構成する。
• 近似誤差を制御するため、一次、二次、三次モーメントを一致させる滑らかで有界な近似分布を用いる。
• ストラッセング・ダグルズの定理を用いて、プロホロフ距離の推定を通じて元の和とガウス過程をカップリングする。
• ダイアディックブロック構成における条件付き分布のローゼンブレット分位数変換を適用し、滑らかさとガウスへの近接性を保証する。
• クラス$\mathcal{A}_d(\tau)$の性質を用いて、最大偏差$\Delta(X,Y) = \max_{1 \leq k \leq n} \|\sum_{i=1}^k (X_i - Y_i)\|$の指数的尾部境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量中心極限定理における強い近似誤差の最適な明示的境界は何か？
• RQ2 近似誤差は次元$d$および和項分布の尾部挙動にどのように依存するか？
• RQ3 ダイアディック構成法は、有限の指数モーメントをもつ非同一分布のd次元確率ベクトルに拡張可能か？
• RQ4 共分散構造とパrameter$\tau$は近似速度を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 近似境界において共分散作用素の条件（例：$\text{cov}(F) \geq \tau \mathbf{I}$）は必要か？

主な発見

• 本稿は指数的尾部境界を確立する：$\mathbf{E}\left[\exp\left(\frac{c \Delta(X,Y)}{\tau}\right)\right] \leq 1 + B/\tau$、ここで$B^2 = \sum_{i=1}^n \mathbf{E}[X_i^2]$であり、次元および分布に依存する明示的定数を含む。
• プロホロフ距離に関して、$\pi(F, \Phi(F), \lambda) \leq c d^2 \exp\left(-\frac{\lambda}{c d^2 \tau}\right)$がすべての$\tau > 0$に対して成り立ち、共分散条件がなくても成り立つ。
• 近似誤差は$\mathbf{P}(c_1 \Delta(X,Y)/\tau(F) \geq x) \leq \exp\left(\log(1 + \sqrt{n \mathbf{E}[\xi^2]}/\tau(F)) - x\right)$を満たし、分布$F$への明示的依存関係を示している。
• 分布$\mathcal{B}_d(\tau)$の畳み込みに関して、カップリングは$\mathbf{P}(\|\xi - \eta\| > \lambda) \leq c(d)\left(\max_i p_i + \exp(-\lambda / (c(d)\tau))\right) + \sum p_i^2$を満たし、有界なサポートにとどまらず一般化される。
• 以前の多変数結果に存在した対数因子を排除し、KMTおよびSakhanenkoの意味で最適性を達成する。
• この構成は非同一分布の和項に対しても有効であり、明示的定数を伴う鋭い次元に依存する近似速度を提供する。