[論文レビュー] Estimates in Generalized Morrey Spaces for Weak Solutions to Divergence Degenerate Parabolic Systems

Yan Dong, Maochun Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Hörmanderのベクトル場に伴う発散型退化放物型系の弱解について、一般化されたMorrey空間における勾配推定値を確立する。Caccioppoli型不等式、逆Hölder不等式、およびVMO係数を用いることで、データおよび係数の適切な可積分性と正則性条件のもとで、水平勾配 $Xu$ が一般化されたMorrey空間 $L_{\rho}^{2,\mu}$ に属することを証明する。

ABSTRACT

Let $\mathrm{X}=(X_{1},...,X_{q})$ be a family of real smooth vector fields satisfying Hömander's condition. The purpose of this paper is to establish gradient estimates in generalized Morrey spaces for weak solutions of the divergence degenerate parabolic system related to $X$ :%\[u_{t}^{i}+X_α^{\ast}(a_{ij}^{αβ}(z)X_βu^{j}%)=g_{i}+X_α^{\ast}f_{i}^α(z), \] where $α,β=1,2,...,q,$ $i,j=1,2,...,N$, $X_α^{\ast}$ is the transposed vector field of $X_α$, $z=(t,x)\in{\mathbb{R}}^{n+1}$, and coefficients $a_{ij}^{αβ}(z)$ belong to the space $VMO$ induced by the vector fields $X_{1}, ...,X_{q}$.

研究の動機と目的

• 弱解の水平勾配 $Xu$ について、$L^2$ および一般化されたMorrey空間における推定値を確立すること。
• ユークリッド空間における古典的Morrey空間の結果を、Hörmanderのベクトル場が定める非ユークリッド的（非可換）なサブリーマン多様体への拡張すること。
• ベクトル場構造に関してVMO（消失平均振動）に属する係数を有する系を扱うこと。
• 勾配 $Xu$ が下位項のデータ $f_i^\alpha$ および $g_i$ の可積分性を一般化されたMorrey空間に引き継ぐことを証明すること。
• 非可換なベクトル場による微分可能性の欠如を、ユークリッド空間における手法をサブリーマン多様体幾何学的手法に適応することで克服すること。

提案手法

• 小さなシリンダ内で $Xu$ の $L^2$ ノルムを制御するためのCaccioppoli型不等式（補題3.1）の使用。
• 同次空間における逆Hölder不等式の適用により、$Xu$ の高階可積分性を導出（定理3.9）。
• Mcbride（2010）がユークリッド空間で開発したVMO係数に対する手法を、Xu（2008）の結果を用いてサブ楕円的設定に適応すること。
• 切り上げ関数および局所化技術の使用により、局所的推定値をコンact部分集合 $Q' \Subset Q'' \Subset Q_T$ に拡張すること。
• 倍加関数 $\varphi$ が $r^{\gamma - \lambda}/\varphi^2(r)$ がほぼ増加関数であることを満たすという条件を満たす一般化されたMorreyノルム $\| \cdot \|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}$ の使用。
• エネルギー推定値と $\varepsilon$ 吸収による補間を組み合わせ、係数 $a_{ij}^{\alpha\beta}$ の一様強楕円性およびVMO正則性に依拠した証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱解の水平勾配 $Xu$ が一般化されたMorrey空間に属するための、データおよび係数に関する条件は何か？
• RQ2 Hörmander条件を満たすベクトル場 $X_1, \dots, X_q$ の性質が、Morrey型空間における解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 ユークリッド空間における放物型系の古典的 $L^p$ およびMorrey空間推定値は、Hörmanderのベクトル場によって駆動される系へと拡張可能か？
• RQ4 係数のVMO条件が、一般化されたMorrey空間における勾配推定値を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 同次次元 $Q$ とMorrey指数 $\lambda$ の間の相互作用が、$Xu$ の可積分性にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の $Q' \Subset Q'' \Subset Q_T$ に対して、$\lambda < \gamma < Q+2$ かつ $r^{\gamma - \lambda}/\varphi^2(r)$ がほぼ増加関数であるならば、水平勾配 $Xu$ は一般化されたMorrey空間 $L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q')$ に属する。
• 次の推定値が成り立つ：$\|Xu\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q')}^2 \leq c\left(\|Xu\|_{L^2(Q'')} + \|f\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q_T)} + \|g\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}(Q_T)}\right)$ であり、これはデータおよび下位項の制御のもとでMorreyノルムの安定性を示している。
• 任意の $\rho \leq R$ で $Q_R \subset Q_T$ を満たす場合、推定値 $\iint_{Q_\rho} |Xu|^2 \, dz \leq c \frac{\rho^{\lambda} \varphi^2(\rho)}{R^{\lambda} \varphi^2(R)} \iint_{Q_R} |Xu|^2 \, dz + c \rho^{\lambda} \varphi^2(\rho) (\|f\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}^2 + \|g\|_{L_{\varphi}^{2,\lambda}}^2)$ が確立され、局所的およびグローバルなノルムを結びつける。
• 証明は、$u = w + v$ と分解することに依拠し、$w$ が同次系を満たし、$v$ が非同次系を満たすようにすることで、勾配成分を別々に制御可能にする。
• 既知の $L^p$ およびMorrey推定値が、VMO係数を有するサブ楕円的設定へと拡張され、ユークリッド空間における以前の結果を一般化している。
• 非可換なベクトル場による微分可能性の欠如を、サブリーマン幾何学的手法およびこの文脈におけるVMO正則性に関する既知の結果を用いることで、効果的に克服できた。