[論文レビュー] Estimates $ L^{r}-L^{s}$ for solutions of the $\\bar \\partial $ equation in strictly pseudo convex domains in ${\\mathbb{C}}^{n}.$

Éric Amar|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{C}^n $ 内の厳密擬凸領域上で $ \bar\partial $ 方程式の解について、Carleson 測度の順序 $ \alpha $ と劣化補題を用いて、$ L^r $-$ L^s $ における鋭い推定式を確立する。$ 1 \leq r < 2(n+1) $ に対して $ \omega \in L^r_{(p,q)}(\Omega) $ ならば、$ \|u\|_s \lesssim \|\omega\|_r $ を満たす解 $ u \in L^s_{(p,q-1)}(\Omega) $ が存在し、$ \frac{1}{s} = \frac{1}{r} - \frac{1}{2(n+1)} $ が成り立つ。また、$ r \geq 2(n+1) $ の場合、BMO および非等方的リプシッツ空間への拡張も行われる。本手法により、Krantz よりも前記の結果を一般化した統一的枠組みが得られる。

ABSTRACT

We prove estimates for solutions of the $\\bar \\partial u=\\omega $ equation in a strictly pseudo convex domain $ \\Omega $ in ${\\mathbb{C}}^{n}.$ For instance if the $ (p,q)$ current $\\omega $ has its coefficients in $L^{r}(\\Omega )$ with $1\\leq r&lt;2(n+1)$ then there is a solution $u$ in $L^{s}(\\Omega )$ with $\\ \\frac{1}{s}=\\frac{1}{r}-\\frac{1}{2(n+1)}.$ We also have $BMO$ and Lipschitz estimates for $r\\geq 2(n+1).$ These results were already done by S. Krantz in the case of $(0,1)$ forms and just for the $L^{r}-L^{s}$ part by L. Ma and S. Vassiliadou for general $(p,q)$ forms. To get the complete result we propose another approach, based on Carleson measures of order $\\alpha $ and on the subordination lemma.

研究の動機と目的

• S. Krantz による $ (0,1) $ 形式に対する $ L^r $-$ L^s $ 推定式を、厳密擬凸領域内での一般の $ (p,q) $ 形式へ一般化すること。
• $ r \geq 2(n+1) $ の場合、$ L^r $-に基づく境界を超えた BMO および非等方的リプシッツ空間における端点推定式を確立すること。
• Carleson 測度の順序 $ \alpha $ と劣化補題を用いた新たな証明戦略を提示し、従来の手法よりも統一的かつより明確な枠組みを提供すること。
• 既知の結果（例：Romanov-Henkin の $ r = \infty $ 時の $ \frac{1}{2} $-ホルダー正則性）を、新規の枠組みの特別な場合として回復・強化すること。

提案手法

• 本手法は、[4] で導入された、順序 $ \alpha $ の Carleson 測度を用いて、$ \bar\partial $ 方程式の解の正則性を分析する。
• [5] に掲載された劣化補題を応用し、関連領域 $ \Omega' \subset \mathbb{C}^{n+1} $ の境界から、元の領域 $ \Omega \subset \mathbb{C}^n $ への $ L^s $ 可積分性を移転する。
• 解は、$ \omega $ を $ \partial\Omega' $ 上の $ \omega' $ に引き上げ、$ \bar\partial_b u' = \omega' $ を $ L^s $ で解き、その後 $ w $-ファイバーに沿って統合することで、$ \Omega $ 内の $ u $ を回復する。
• 主要な推定式は、$ \frac{1}{s} = 1 - \alpha $ という関係から生じる。ここで $ \alpha = \frac{1}{r'} + \frac{1}{2(n+1)} $ であるため、$ \frac{1}{s} = \frac{1}{r} - \frac{1}{2(n+1)} $ が得られる。
• $ r = 2(n+1) $ の場合、解は BMO に属し、$ r > 2(n+1) $ の場合、$ \beta = 1 - \frac{2(n+1)}{r} $ を用いて $ u \in \Gamma^\beta $ となる。これは [4] および [6] の境界正則性に関する定理を用いる。
• 解作用素が $ \omega $ に関して線形であることが示され、すべてのケースにおいて有界性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密擬凸領域上での $ \bar\partial $ 解の $ L^r $-$ L^s $ 推定式は、$ (0,1) $ 形式から一般の $ (p,q) $ 形式へ、鋭い端点挙動を伴って拡張可能か？
• RQ2 $ \omega \in L^r_{(p,q)}(\Omega) $、$ \bar\partial\omega = 0 $、$ 1 \leq r < 2(n+1) $ のとき、$ \|u\|_{L^s} \lesssim \|\omega\|_{L^r} $ を満たす最適な $ s $ は何か？
• RQ3 $ r \geq 2(n+1) $ 時、特に $ r = 2(n+1) $ および $ r > 2(n+1) $ 時、BMO および非等方的リプシッツ正則性推定式をどのように確立できるか？
• RQ4 Carleson 測度の順序 $ \alpha $ と劣化補題に基づく統一的枠組みは、Krantz や Ma-Vassiliadou の既知の $ L^r $-$ L^s $ 推定式をより単純に証明できるか？

主な発見

• $ 1 \leq r < 2(n+1) $ の場合、$ \bar\partial u = \omega $ の解 $ u $ は、$ \|u\|_{L^s} \lesssim \|\omega\|_{L^r} $ を満たし、$ \frac{1}{s} = \frac{1}{r} - \frac{1}{2(n+1)} $ が成り立つ。これは $ s $ における鋭い端点を達成する。
• $ r = 2(n+1) $ の場合、解 $ u $ は BMO 空間に属し、$ \|u\|_{BMO} \lesssim \|\omega\|_{L^{2(n+1)}} $ が成り立つ。これは $ L^s $ を超える正則性の拡張を示す。
• $ r = 1 $ の場合、解 $ u $ は Lorentz 空間 $ L^{s,\infty} $ に属し、$ \frac{1}{s} = 1 - \frac{1}{2(n+1)} $ を満たす。これは可積分データに対する弱型推定式を提供する。
• $ r > 2(n+1) $ の場合、解 $ u $ は非等方的リプシッツ空間 $ \Gamma^\beta $ に属し、$ \beta = 1 - \frac{2(n+1)}{r} $ であり、$ \|u\|_{\Gamma^\beta} \lesssim \|\omega\|_{L^r} $ が成り立つ。これは高階正則性を捉える。
• 解作用素は $ \omega $ に関して線形であり、すべての $ r \geq 1 $ において有界性と一貫性が保証される。また、Krantz や Ma-Vassiliadou らの既知の結果を一般化・強化する。
• Carleson 測度の順序 $ \alpha $ と劣化補題を用いた手法により、従来の手法よりも統一的かつより明確な証明戦略が得られ、特に $ (p,q) $ 形式に対して顕著である。