[論文レビュー] Estimates of Amplitudes of Transient Regimes in Quasi-Controllable Discrete Systems

Victor Kozyakin, A. Pokrovskii|ArXiv.org|Aug 28, 2009

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 17被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、準可制御性の尺度を活用することで、準可制御な離散系における一時的状態の振幅を推定する新しい手法を提案する。安定な準可制御系に対して、単位球からの状態軌道の振幅が、準可制御性の尺度の逆数で有界であることを証明し、制御系におけるオーバーシュートおよびロバストネス解析のための構成的事前境界を提供する。

ABSTRACT

Families of regimes for discrete control systems are studied possessing a special quasi-controllability property that is similar to the Kalman controllability property. A new approach is proposed to estimate the amplitudes of transient regimes in quasi-controllable systems. Its essence is in obtaining of constructive a priori bounds for degree of overshooting in terms of the quasi-controllability measure. The results are applicable for analysis of transients, classical absolute stability problem and, especially, for stability problem for desynchronized (asynchronous, switching) systems.

研究の動機と目的

• 漸近的安定性が達成されていても、無限大に発散する一時的振幅（オーバーシュート）の問題に対処すること。
• 完全に可制御でないが、弱い意味での準可制御性を持つ系において、一時的状態軌道の最大振幅に対する構成的で事前的な境界を確立すること。
• 準可制御性の尺度に基づく定量的指標を提供し、非同期化や適応型制御系のようなシステムにおけるロバストネス解析と安定性評価を可能にすること。
• 準可制御系において、安定性および不安定性の性質が、システムパラメータの小さな摂動に対してロバストであることを示すこと。
• 古典的な安定性解析、特に絶対安定性および非同期化系に対して、一時的挙動の制約を組み込むことで拡張すること。

提案手法

• 準可制御性の概念を導入：ある行列族が、すべての行列に対して不変な非自明な部分空間を持たないとき、その族は準可制御であると定義する。
• 準可制御性の尺度 σp[F] を定義する。これは、行列族に属する行列の凸結合のスペクトル半径の下限として定義され、準可制御性の度合いを定量化する。
• 行列族の絶対凸包（absco）の概念を用いて、行列積による単位球からの到達可能状態集合を特徴付ける。
• τ→0 のときの連続的変化する行列族 F(τ) の極限解析を適用し、準可制御性の尺度の連続性を導出する。
• ベクトル列の収束および線形独立性を用いた幾何学的・位相的議論を用いて、一時的振幅の主な境界を証明する。
• F(τ) の絶対凸包のスペクトル半径の極限下界が σp[F(0)] 以上であることを示し、摂動下でも尺度の安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に可制御でない離散系において、一時的状態軌道の振幅に対する構成的で事前的な境界を導出できるか？
• RQ2 準可制御性の尺度は、離散制御系の一時的挙動における最大オーバーシュートとどのように関係するか？
• RQ3 準可制御系の安定性または不安定性は、システムパラメータの小さな摂動に対してロバストか？
• RQ4 提案された尺度は、絶対安定性や非同期化系といった古典的問題に効果的に計算可能かつ適用可能か？
• RQ5 行列族の絶対凸包のスペクトル半径とシステムの一時的振幅の関係は何か？

主な発見

• 任意の安定な準可制御な離散系において、単位球から出発するすべての状態軌道の振幅は、準可制御性の尺度の逆数で有界である。
• 連続的変化する行列族 F(τ) に対して、σp[F] は τ=0 で連続であり、小さな摂動に対しても境界のロバストネスが保証される。
• τ→0 のとき、F(τ) の絶対凸包のスペクトル半径の極限下界が σp[F(0)] 以上であることが示され、尺度の安定性が裏付けられる。
• 一時的振幅の境界は構成的かつ計算可能であり、行列の凸結合を用いた評価により、準可制御性の尺度は効率的に計算可能である。
• 本手法は、ピーク効果の幾何的解釈を提供する：漸近的安定性を最適化することは、リャプノフ関数の等高線を変形させ、結果としてオーバーシュートを増大させる可能性がある。
• 本結果は、一時的挙動が重要な非同期化系や絶対安定性問題の解析に直接適用可能である。