[論文レビュー] Estimates of Green Function for some perturbations of fractional Laplacian

Tomasz Grzywny, Michał Ryznar|arXiv (Cornell University)|May 14, 2006

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、等方的 $\alpha$-安定過程の摂動である対称リーヴィ過程 $Y_t$ のグリーン関数について、そのリーヴィ測度の差にに関する条件の下で両側推定を確立する。化合物ポアソン過程と境界ハーナック原理に基づく初等的な確率的手法を用いて、リーヴィ測度の差が原点近傍で $O(|x|^{-d+\varrho})$ のオーダーであるとき、有界リプシッツ領域内では $Y_t$ のグリーン関数と安定過程のグリーン関数が比較可能であることを証明する。これは、既存の結果を1次元および相対論的 $\alpha$-安定過程を含むより一般の過程へと拡張するものである。

ABSTRACT

Suppose that Y(t) is a d-dimensional Levy symmetric process for which its Levy measure differs from the Levy measure of the isotropic alpha-stable process (00, we prove that the Green functions are comparable, provided D is connected. These results apply for example to alpha-stable relativistic process. This process was studied in recent years. In the paper we also considered one dimensional case for alpha<= 1 and proved that the Green functions for an open and bounded interval are comparable.

研究の動機と目的

• 対称リーヴィ過程 $Y_t$ のグリーン関数と等方的 $\alpha$-安定過程のグリーン関数を、それらのリーヴィ測度の差が有限符号付き測度である場合に比較すること。
• 従来の比較結果（$d > \alpha$ および $C^{1,1}$ 領域に限られていた）を、有界リプシッツ領域および $\alpha \geq 1$ の1次元の場合にまで拡張すること。
• リーヴィ測度の差に弱い仮定を課すことにより比較性を確立すること。具体的には、原点近傍で $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$ を満たし、差の正負を要求しないこと。
• リーヴィ測度が原点の近傍外で消失するような過程に対しても扱える、既存の手法（例えばドリフト変換）とは異なる代替手法を提供すること。

提案手法

• リーヴィ測度の差が正の有限測度である場合、摂動過程 $Y_t$ を安定過程と独立な化合物ポアソン過程の和として表現する。
• ハーモニック関数の比較が可能である条件のもとで、摂動過程 $Y_t$ に対して境界ハーナック原理（BHP）を適用する。
• 安定過程との比較に基づき、ポテンシャル測度および抜けるまでの時間の期待値の推定を行う。これは、$E^x \tau^Y_D \approx E^x \widetilde{\tau}_D$ が弱い仮定のもとで成り立つことを利用している。
• 切り捨てられたグリーン関数とハーナック不等式を用いて、$G^Y_D(x,y)$ と $\widetilde{G}_D(x,y)$ を比較する。特に、$|x-y|$ が境界からの距離に比べて小さい領域で有効である。
• 両方の $\nu^Y$ と $\widetilde{\nu}$ を支配するリーヴィ測度を持つ中間過程 $Z_t$ を用いた比較議論により、$Z_t$ からの比較性を $Y_t$ へと伝える。
• 安定グリーン関数の既知の評価 $\widetilde{G}_D(x,y) \approx |x-y|^{\alpha-d}$ を、内部および境界付近の挙動と組み合わせて、抜けるまでの時間の挙動を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界リプシッツ領域において、対称リーヴィ過程のグリーン関数が等方的 $\alpha$-安定過程のグリーン関数と比較可能となるためのリーヴィ測度の差に関する条件は何か？
• RQ2 従来の結果が $d > \alpha$ に限られていたが、$\alpha \geq 1$ の1次元領域に対しても比較結果を拡張できるか？
• RQ3 リーヴィ測度の差が正である必要はないが、原点近傍で $O(|x|^{-d+\varrho})$ のオーダーで有界である場合、比較性は保たれるか？
• RQ4 リーヴィ測度が原点の近傍外で消失するような過程に対しても、本手法は適用可能か？これはドリフト変換手法では扱えないケースである。
• RQ5 リーヴィ測度の差に局所的可積分性条件が成り立つ場合、$Y_t$ に対する境界ハーナック原理が、そのグリーン関数の両側推定を導くのに十分か？

主な発見

• 有界リプシッツ領域 $D$ に対して、$\sigma(x) = \widetilde{\nu}(x) - \nu^Y(x)$ が非負であり、$|x| \leq 1$ で $\sigma(x) \leq c|x|^{\varrho - d}$ を満たす $\varrho > 0$ ならば、$G^Y_D(x,y)$ と $\widetilde{G}_D(x,y)$ は定数 $C = C(d,\alpha,D,\varrho,c)$ を用いて比較可能である。
• $\sigma(x)$ が非負でなくても、$|x| \leq 1$ で $|\sigma(x)| \leq c|x|^{-d+\varrho}$ かつ $\nu^Y(x)$ が $B^c(0,1)$ 上で有界である限り、グリーン関数は依然として比較可能であり、定数は $C = C(d,\alpha,D,\varrho,\sigma)$ に依存する。
• $\alpha \geq 1$ の1次元の場合も、主定理によってカバーされ、既存の文献では得られていなかった新たな結果を提供する。
• 本手法は、リーヴィ測度 $\nu^Y(x)$ が原点の近傍外で消失するような過程に対しても適用可能であり、[CS3] や [KL] で用いられるドリフト変換法では不可能なケースをカバーできる。
• $Y_t$ に対する境界ハーナック原理は、与えられた条件下で確立され、ハーモニック関数の比較を可能にし、最終的な両側推定へと導く。
• 相対論的 $\alpha$-安定過程の既知の比較性は、すべての有界リプシッツ領域および1次元の場合へと拡張される。