[論文レビュー] Estimates of Potential functions of random walks on $Z$ with zero mean and infinite variance and their applications

Kôhei Uchiyama|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平均が0で分散が無限大である一様な整数直線上のランダムウォークのポテンシャル関数 $ a(x) $ について、上限と下限の鋭い評価を確立し、増分分布の尾部条件のもとで $ a(x) \asymp x/m(x) $ を示している。主な結果として、右尾部が左尾部に比べて漸近的に無視可能である場合、$ a(-x)/a(x) \to 0 $ が $ x \to \infty $ のとき成り立ち、これは精密な漸近的推定および逃げ確率やラダー高さの安定性への応用を可能にする。

ABSTRACT

Let $S_n =X_1+\cdots +X_n$ be an irreducible random walk (r.w.) on the one dimensional integer lattice with zero mean, infinite variance and i.i.d. increments $X_n$. We obtain an upper and lower bounds of the potential function, $a(x)$, of $S_n$ in the form $a(x)\asymp x/m(x)$ under a reasonable condition on the distribution of $X_n$; we especially show that as $x o\infty$ $$a(x) \asymp \frac{x}{m_-(x)} \quad\mbox{and}\quad \frac{a(-x)}{a(x)} o 0 \quad\;\;\mbox{if}\quad \lim_{x o +\infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} =0,$$ where $m_\pm(x) = \int_0^xdy\int_y^\infty P[\pm X_1>u]du$ and $m=m_++m_-$. Under certain conditions on the tails of the distribution of $X$ we derive precise asymptotic forms of $a(x)$ as $x o +\infty$ or/and $-\infty$. The results are applied to derive a sufficient condition for the relative stability of the ladder height and estimates of some escape probabilities from the origin; we show among others that under the above condition on $m_+/m-$, $P[S_n>0] o 1/α$ if and only if the probability of exiting a long interval $[-Q,R]$ through the upper boundary converges to $λ^{α-1}$ as $Q/(Q+R) o λ$ for any $0

研究の動機と目的

• 平均0で分散が無限大である再生的ランダムウォークのポテンシャル関数 $ a(x) $ の精密な漸近的評価を導出すること。
• 関数 $ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $ を用いて、$ \bar{a}(x) = \frac{1}{2}(a(x) + a(-x)) $ の成長率を特徴付けること。ここで $ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $、$ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X > u)\,du $ である。
• ポテンシャル関数の負の軸における減衰の非対称性を示す条件 $ a(-x)/a(x) \to 0 $ が成り立つ条件を調査すること。
• ポテンシャル関数の評価を応用し、ラダー高さの相対的安定性の十分条件を導出し、区間からの二面的抜出し問題を分析すること。

提案手法

• ポテンシャル関数の定義 $ a(x) = \sum_{n=0}^\infty \big( P(S_n = 0) - P(S_n = -x) \big) $ を用いる。ここで $ S_n $ は独立同分布の増分を持つランダムウォークである。
• 重要な関数的として、$ m_\pm(x) = \int_0^x \eta_\pm(t)\,dt $ を導入し、$ \eta_\pm(x) = \int_x^\infty P(\pm X_1 > u)\,du $、$ m(x) = m_+(x) + m_-(x) $ とする。
• 条件 (H) のもとで、$ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $ を確立する。条件 (H) は、原点近傍における特性関数の振る舞いを制御するもので、$ \delta_H = \liminf_{t \downarrow 0} \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{\eta(1/t)} > 0 $ である。
• タウバー型定理および再生測度のフーリエ解析、特に正弦級数表現 $ u_x = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi S(\theta) \sin x\theta\,d\theta $ を用いて、$ \bar{a}(x) $ の上界および下界を導出する。
• 増分分布の尾部に正則変動性の仮定を置き、既知の緩やかな変動関数および再生理論の結果を用いて、$ a(x) $ の漸近的挙動を分析する。
• 殺し付きランダムウォークのグリーン関数を表す恒等式 $ g(x,y) = a(x) + a(-y) - a(x-y) $ を用いて応用を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大前提 $ x $ に対して、ポテンシャル関数 $ a(x) $ が $ a(x) \asymp x/m(x) $ を満たす条件は何か？
• RQ2 いつ $ a(-x)/a(x) \to 0 $ が $ x \to \infty $ のとき成り立ち、これは増分分布の尾部の非対称性に何を示唆するか？
• RQ3 $ a(x) $ の漸近的挙動は、最初のラダー高さの相対的安定性および区間からの逃げ確率とどのように関係するか？
• RQ4 増分分布の右尾部が左尾部に比べて無視可能であるとき、$ a(x) $ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 条件 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ は、最初のラダー高さの可積分性とどのように関連するか？

主な発見

• 十分大きなすべての $ x $ に対して、ある普遍的定数 $ C_* > 0 $ を用いて $ \bar{a}(x) \geq C_* x/m(x) $ が成り立ち、関数的 $ m(x) $ を用いた下界が確立される。
• 条件 (H) のもとで、$ \delta_H $ のみに依存する定数 $ C_H^* $ を用いて $ \bar{a}(x) \leq C_H^* x/m(x) $ が成り立ち、上界が得られ、結果として $ \bar{a}(x) \asymp x/m(x) $ が成立する。
• もし $ \frac{\alpha(t) + |\gamma(t)|}{t m(1/t)} \to 0 $ が $ t \downarrow 0 $ のとき成り立つならば、$ \frac{\bar{a}(x)}{x/m(x)} \to \infty $ となり、$ \bar{a}(x) $ が $ x/m(x) $ よりも速く成長することを示唆する。
• もし $ \lim_{x \to \infty} \frac{m_+(x)}{m_-(x)} = 0 $ ならば、$ \frac{a(-x)}{a(x)} \to 0 $ が成り立ち、負の軸における $ a(x) $ の減衰の強い非対称性が示される。
• $ a(x) $ の漸近的挙動を用いて、$ P(S_n > 0) \to 1/\alpha $ が成り立つのは、区間 $ [-Q,R] $ からの上側境界への抜出し確率が $ Q/(Q+R) \to \lambda \in (0,1) $ のとき $ \lambda^{\alpha-1} $ に収束するとき、かつそのときに限ることを示している。
• 本結果は、最初のラダー高さの相対的安定性の十分条件を提供し、尾部条件 $ \int_1^\infty \frac{xP(X > x)}{m_-(x)}\,dx < \infty $ を用いてラダー高さ分布の可積分性に関する基準を精緻化する。