[論文レビュー] Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.

Pierre Dusart|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 90

ひとこと要約

この論文は、リーマン予想を仮定せずに、チェビシェフ関数 ϑ(x) および ψ(x) の明示的で効果的な上限・下限を提供する。ゼータ関数の零点の確認済みの零点なし領域と、ゼータ零点の数値計算を活用し、π(x)、k番目の素数 pₖ、素数のギャップに関するより鋭い誤差推定値を確立する。10¹³ まで広範なゼータ零点の数値的検証を用いることで、先行研究を凌駕する結果を得ている。

ABSTRACT

Some computations made about the Riemann Hypothesis and in particular, the verification that zeroes of zeta belong on the critical line and the extension of zero-free region are useful to get better effective estimates of number theory classical functions which are closely linked to zeta zeroes like psi(x), theta(x), pi(x) or the k-th prime number.

研究の動機と目的

• リーマン予想を仮定せずに、ϑ(x) および ψ(x) の有効的で明示的な上限および下限を導出すること。
• ϑ(x) および ψ(x) の境界を用いて、k番目の素数 pₖ の推定値を改善すること。
• 少なくとも1つの素数を含む明示的な区間を確立し、既知の素数ギャップ推定値を改善すること。
• 明示的定数を用いた誤差項において、π(x) のより鋭い、数値的に検証された境界を提供すること。

提案手法

• ψ(x) = ∑ₖ₌₁^∞ ϑ(x¹ᐟᵏ) の恒等式を用いて、ψ(x) と ϑ(x) を関連づけ、再帰的推定を可能にする。
• リーマンゼータ関数の既知の零点なし領域と、10¹³ までの一連の非自明な零点の数値的検証を用いて、誤差項を精緻化する。
• ロッサー、シューフェルトらの ψ(x) および ϑ(x) に関する結果を、特に x ≥ 3,594,641 に対して明示的誤差境界を含めて適用する。
• π(x) ≈ x / ln x の関係を用い、誤差項に明示的定数を含めたより鋭い上限および下限を導出する。
• ln k および ln₂ k に関する pₖ の漸近的展開を用い、ϑ(x) の境界を用いて係数を精緻化する。
• 8×10¹¹ までの一連のϑ(x)、π(x)、pₖ の広範な表を用いて、結果を数値的に検証し、各区間ごとに定数を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想を仮定せずに成立する、ϑ(x) − x の最も鋭い明示的境界は何か？
• RQ2 ϑ(x) および ψ(x) の改善された境界をどのように用いて、k番目の素数 pₖ のより鋭い推定値を導出できるか？
• RQ3 x ≥ 396,738 のとき、[x, x + x/(25 ln²x)] の区間で少なくとも1つの素数が存在する最小長さは何か？
• RQ4 誤差項に改善された定数を含めた、明示的で数値的に検証された π(x) の境界をどのように構築できるか？
• RQ5 x が 8×10¹¹ までに達する範囲で、π(x) が指定された境界内にある最適な定数 a₅, b₅, a₆, b₆, a₇, b₇ は何か？

主な発見

• すべての x > 0 に対して、|ϑ(x) − x| < x / 36,260 が成り立ち、普遍的で絶対的な誤差境界を提供する。
• x ≥ 3,594,641 のとき、|ϑ(x) − x| ≤ 0.2x / ln²x が成り立ち、先行の明示的境界を著しく改善する。
• k ≥ 688,383 のとき、pₖ ≤ k(ln k + ln₂k − 1 + (ln₂k − 2)/ln k) が成り立ち、pₖ の漸近的展開を精緻化する。
• k ≥ 3 のとき、pₖ ≥ k(ln k + ln₂k − 1 + (ln₂k − 2.1)/ln k) が成り立ち、より鋭い下限を確立する。
• x ≥ 396,738 のとき、区間 [x, x + x/(25 ln²x)] には少なくとも1つの素数が含まれる。これは素数ギャップ推定値の改善である。
• x ≥ 2,953,652,287 のとき、π(x) ≤ x / ln x × (1 + 1/ln x + 2.334 / ln²x) が成り立ち、明示的定数を含む鋭い上限を提供する。