[論文レビュー] Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials

Feng Dai, Д. В. Горбачев+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Mathematical functions and polynomials参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位球面 $\mathbb{S}^d$ 上の球面多項式の漸近的ニコルスキー定数と、ベッセル関数およびその零点を含む極値問題との間の明確な関係を確立する。$d \to \infty$ のとき、定数 $\mathcal{L}^*(d)$ が指数関数的に速く減少することを証明し、$0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$ という境界を与える。これは、近似理論における、最良のニコルスキー定数に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $Π_n^d$ denote the space of spherical polynomials of degree at most $n$ on the unit sphere $\mathbb{S}^d\subset \mathbb{R}^{d+1}$ that is equipped with the surface Lebesgue measure $dσ$ normalized by $\int_{\mathbb{S}^d} \, dσ(x)=1$. This paper establishes a close connection between the asymptotic Nikolskii constant, $$ \mathcal{L}^\ast(d):=\lim_{n o \infty} \frac 1 {\dim Π_n^d} \sup_{f\in Π_n^d} \frac { \|f\|_{L^\infty(\mathbb{S}^d)}}{\|f\|_{L^1(\mathbb{S}^d)}},$$ and the following extremal problem: $$ \mathcal{I}_α:=\inf_{a_k} \Bigl\| j_{α+1} (t)- \sum_{k=1}^\infty a_k j_α \bigl( q_{α+1,k}t/q_{α+1,1}\bigr)\Bigr\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+)} $$ with the infimum being taken over all sequences $\{a_k\}_{k=1}^\infty\subset \mathbb{R}$ such that the infinite series converges absolutely a.e. on $\mathbb{R}_+$. Here $j_α$ denotes the Bessel function of the first kind normalized so that $j_α(0)=1$, and $\{q_{α+1,k}\}_{k=1}^\infty$ denotes the strict increasing sequence of all positive zeros of $j_{α+1}$. We prove that for $α\ge -0.272$, $$\mathcal{I}_α= \frac{\int_{0}^{q_{α+1,1}}j_{α+1}(t)t^{2α+1}\,dt}{\int_{0}^{q_{α+1,1}}t^{2α+1}\,dt}= {}_{1}F_{2}\Bigl(α+1;α+2,α+2;-\frac{q_{α+1,1}^{2}}{4}\Bigr). $$ As a result, we deduce that the constant $\mathcal{L}^\ast(d)$ goes to zero exponentially fast as $d o\infty$: \[ 0.5^d\le \mathcal{L}^{*}(d)\le (0.857\cdots)^{d\,(1+\varepsilon_d)} \ \ \ \ \ ext{with $\varepsilon_d =O(d^{-2/3})$.} \]

研究の動機と目的

• 球面多項式の $\mathbb{S}^d$ 上での最良のニコルスキー定数 $\mathcal{L}^*(d)$ の $d \to \infty$ における漸近的挙動を特定すること。
• $\mathcal{L}^*(d)$ とベッセル関数およびその零点を含む極値問題との深い関係を確立すること。
• 高次元における $\mathcal{L}^*(d)$ の減少率の推定という、長年の未解決問題を解決すること。
• 得られた結果を応用し、$L^1$-近似および圧縮センシングにおけるレーメー定数 $\alpha_d^*$ の漸近的推定を得ること。

提案手法

• 著者らは、次数 $n$ の球面多項式の空間の次元 $\Pi_n^d$ で正規化された、$\|f\|_{L^\infty}/\|f\|_{L^1}$ の比の極限として、漸近的ニコルスキー定数 $\mathcal{L}^*(d)$ を定義する。
• 彼らは、スケーリングされたベッセル関数の系列との差のノルムを最小化する係数 $\{a_k\}$ を選ぶことで、一様ノルムを含む極値問題 $\mathcal{I}_\alpha$ を導入する。
• 問題 $\mathcal{I}_\alpha$ の解が、$j_{\alpha+1}(t)$ と $t^{2\alpha+1}$ を含む積分の比として得られ、これは一般化超幾何関数 ${}_1F_2$ として表現される。
• ベッセル関数の零点の漸近的挙動とスターリングの公式を用いて、$d \to \infty$ のときの $\mathcal{L}^*(d)$ の指数的減少率を導出する。
• 主な結果をレーメー型問題に応用し、$\mathcal{L}^*(d)$ と $\mathbb{R}^d$ 上のニコルスキー定数との関係を用いて、レーメー定数 $\alpha_d^*$ の境界を導出する。
• 解析は、指数型整関数に関する既知の結果と、特に $j_{\alpha+1}$ の最初の正の零点 $q_{\alpha+1,1}$ の役割を含む球面調和関数の構造に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \to \infty$ のとき、球面多項式のニコルスキー定数 $\mathcal{L}^*(d)$ の漸近的減少率は何か？
• RQ2 漸近的ニコルスキー定数 $\mathcal{L}^*(d)$ は、ベッセル関数およびその零点を含む極値問題とどのように関係しているか？
• RQ3 高次元における $L^1 \to L^\infty$ のニコルスキー不等式の最良定数は、高次元で正確に推定可能か？
• RQ4 これらの推定は、$L^1$-近似理論におけるレーメー定数 $\alpha_d^*$ にどのような意味を持つのか？
• RQ5 $\mathcal{L}^*(d)$ の指数的減少は鋭いか？また、正確な境界は何か？

主な発見

• $d \to \infty$ のとき、漸近的ニコルスキー定数 $\mathcal{L}^*(d)$ は指数関数的に速く減少し、$0.5^d \leq \mathcal{L}^*(d) \leq (0.857\cdots)^{d(1+O(d^{-2/3}))}$ という境界が得られる。
• $\alpha \geq -0.272$ のとき、極値問題 $\mathcal{I}_\alpha$ は正確に解かれ、$\mathcal{I}_\alpha = {}_1F_2\bigl(\alpha+1; \alpha+2, \alpha+2; -q_{\alpha+1,1}^2/4\bigr)$ となる。
• $\mathcal{L}^*(d)$ は $\mathcal{L}^*(d) \leq \mathcal{I}_{d/2-1}$ を満たすことが示され、球面問題とベッセル関数の極値問題が結びつけられる。
• レーメー定数 $\alpha_d^*$ については、$\bigl(\frac{V_d \alpha_d^*}{(2\pi)^d}\bigr)^{1/d} \geq (\sqrt{e/2})^{1+o(1)}$ および $\leq e^{1+o(1)}$ という漸近的境界が得られ、以前の推定を改善する。
• ベッセル関数の零点の漸近的解析とスターリングの公式を用いて、$\mathcal{L}^*(d)$ の指数的減少が確立され、$\alpha \to \infty$ のとき $a_0^* \sim C \alpha^{-1/6} (2\alpha/e)^\alpha \cdot (\alpha + O(\alpha^{1/3}))^{-\alpha}$ となる。
• 結果は、$L^1 \to L^\infty$ の球面上の最良ニコルスキー定数が、$d$ に対して任意の多項式より速く減少し、定量的に境界づけられた指数的レートで減少することを確認する。