[論文レビュー] Estimates of the Kobayashi metric on almost complex manifolds

H. Gaussier, Alexandre Sukhov|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、有界な厳密強擬凸関数をもつ almost complex 多様体における厳密強擬凸領域における Kobayashi-Royden 無限小擬距離の下界推定を確立する。複素構造に類似したスケーリング法の almost complex 版を用い、擬凸関数による局所化技術を組み合わせることで、このような多様体内の任意の点が完全双曲的近傍をもつことを証明し、Kobayashi が提示した任意次元における問題を解決する。

ABSTRACT

We establish a lower estimate for the Kobayashi-Royden infinitesimal pseudometric on an almost complex manifold $(M,J)$ admitting a bounded strictly plurisubharmonic function. We apply this result to study the boundary behaviour of the metric on a strictly pseudoconvex domain in $M$ and to give a sufficient condition for the complete hyperbolicity of a domain in $(M,J)$. Finally we obtain the regularity up to the bounday of $J$-holomorphic discs attached to a totally real submanifold in $M$.

研究の動機と目的

• almost complex 多様体における厳密強擬凸領域における Kobayashi-Royden 無限小擬距離の下界推定を提供すること。
• このような領域における Kobayashi-Royden 距離の境界挙動を研究すること。
• almost complex 多様体における領域の完全双曲的性の十分条件を与えること。
• almost complex 多様体における任意の点が完全双曲的近傍をもつという Kobayashi の問いに答えを出すこと。

提案手法

• Sibony の手法にインspiredされた、特別なクラスの擬凸関数の構成に基づく、Kobayashi-Royden 距離の局所化。
• S. Pinchuk によるスケーリング法の almost complex 版を非可積分 almost complex 構造に適応したもの。
• 非等方的スケーリングを用いて境界付近での almost complex 構造を変形し、$\mathcal{C}^2$ ノルムで極限構造 $J_0$ に収束させる。
• これらのスケーリングにおける Levi 形式の不変性を分析し、極限でも厳密強擬凸性が保たれることを保証する。
• 均一な下界を保証するため、$R = \tilde{\rho} + \tilde{\rho}^2$ として、厳密 $J_0$-強擬凸関数 $R$ を構成する。
• 非等方的スケーリングにおける Levi 形式の不変性を活用し、極限構造からの推定を元の領域へと逆方向に伝える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 almost complex 多様体の任意の点は、完全双曲的近傍をもつのか？
• RQ2 非可積分 almost complex 多様体における厳密強擬凸領域で Kobayashi-Royden 距離の下界推定を確立できるか？
• RQ3 almost complex 幾何学における厳密強擬凸境界付近での Kobayashi-Royden 距離の境界挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 almost complex 多様体における領域の完全双曲的性を保証する条件は何か？

主な発見

• 有界な厳密強擬凸関数をもつ almost complex 多様体における厳密強擬凸領域で、Kobayashi-Royden 無限小擬距離の下界推定が確立された。
• 境界挙動は Levi 形式と非等方的スケーリングにより制御され、境界付近でも一様な推定が保証される。
• 主結果は Kobayashi の問いに対する肯定的解答を示唆する：almost complex 多様体の任意の点は完全双曲的近傍をもつ。
• 証明は、境界点で厳密強擬凸である任意の領域へと一般化可能であり、境界付近での局所的推定が得られる。
• 非等方的スケーリングの極限において、定義関数の Levi 形式は一様に正定値のままであり、極限関数 $R$ の厳密強擬凸性が保証される。
• $R = \tilde{\rho} + \tilde{\rho}^2$ の構成により、均一に下から有界な Levi 形式をもつ厳密 $J_0$-強擬凸関数が得られ、距離推定が可能になる。