[論文レビュー] Estimating Drift Parameters in a Fractional Ornstein Uhlenbeck Process with Periodic Mean

Herold Dehling, Brice Franke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、周期的平均と長-range依存性を有する分数オーランシュタイン・アハルゼン過程におけるドリフトパラメータの最小二乗推定量を提案する。発散型ストキャスティック積分を用いて、一貫性および漸近正規性を確立し、収束速度は $ n^{1-H} $ である。これは周期的平均構造と長記憶効果のため、古典的な $ n^{1/2} $ 速度よりも遅い。

ABSTRACT

We construct a least squares estimator for the drift parameters of a fractional Ornstein Uhlenbeck process with periodic mean function and long range dependence. For this estimator we prove consistency and asymptotic normality. In contrast to the classical fractional Ornstein Uhlenbeck process without periodic mean function the rate of convergence is slower depending on the Hurst parameter $H$, namely $n^{1-H}$.

研究の動機と目的

• 周期的平均関数 $ L(t) = \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) $ を有する分数オーランシュタイン・アハルゼン過程におけるドリフトパラメータ $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $ の推定を目的とする。
• 平均回帰、長-range依存性（$ H > 1/2 $ の分数 Browmian 動径）および周期的決定的トレンドを併せ持つモデルにおけるパラメータ推定の課題に対処することを目的とする。
• 連続観測による時間区間の拡大下で、最小二乗推定量の漸近的性質（一貫性および漸近正規性）を確立することを目的とする。
• 周期的平均および長-range依存性が収束速度に与える影響を特定し、それが $ n^{1-H} $ に遅くなることを示すこと。

提案手法

• ストキャスティック微分方程式：$ dX_t = \left( \sum_{i=1}^p \mu_i \phi_i(t) - \alpha X_t \right) dt + \sigma dB_t^H $ を用いてプロセスを定式化し、$ H \in (1/2, 3/4) $ を満たす。
• 解の存在および最小二乗推定と整合性を保証するため、伊藤積分や経路積分とは異なる発散型ストキャスティック積分を用いる。
• 時間区間 $ [0, n\nu] $ における統合過程に基づく二次的関数を最小化することで、最小二乗推定量 $ \hat{\theta}_n $ を導出。明示的解 $ X_t = e^{-\alpha t} \left( \xi_0 + \int_0^t e^{\alpha s} L(s) ds - \sigma \int_0^t e^{\alpha s} dB_s^H \right) $ を活用する。
• 定常解 $ \tilde{X}_t $ にエルゴード定理を適用することで一貫性を確立し、ほとんど確実に $ n^{-1} \int_0^n X_t \phi_i(t) dt \to \mathbb{E}[\tilde{X}_t \phi_i(t)] $ が成り立つことを示す。
• 漸近正規性を証明するため、$ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $ の極限分布を解析し、周期関数の分数 Browmian 動径に対する正規化積分の収束に帰着する。
• 従属的かつガウス分布に従う確率変数のための関数的中心極限定理を適用し、多重ウィーナー積分の等長性公式および $ B^H $ の長-range依存構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的平均関数および長-range依存性を有する分数オーランシュタイン・アハルゼン過程におけるドリフトパラメータを一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 このモデルにおける最小二乗推定量の漸近分布は何か？ また、古典的または非周期的分数ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 収束速度が $ n^{1/2} $ より遅くなる理由は何か？ また、周期的平均構造は速度および極限分散にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 連続観測下で $ n \to \infty $ のとき、最小二乗推定量 $ \hat{\theta}_n $ はドリフトパラメータ $ \theta = (\mu_1, \dots, \mu_p, \alpha)^T $ に対して一貫性を有する。
• $ n^{1-H} (\hat{\vartheta}_n - \vartheta) $ の漸近分布は、平均がゼロで分散共分散行列 $ \sigma^2 C \Sigma_0 C $ の多変量正規分布である。ここで $ \Sigma_0 $ は長-range依存構造を捉える。
• 収束速度は $ n^{1-H} $ であり、周期的平均と長-range依存性の相互作用のため、古典的 $ n^{1/2} $ 速度よりも遅い。
• 極限分散共分散行列 $ \Sigma_0 $ は核 $ |t-s|^{2H-2} $ に依存し、分数 Browmian 動径の長-range依存性を反映しており、ブラウン運動の場合とは異なり情報行列の逆行列 $ C^{-1} $ とは等しくない。
• 分数 Browmian 動径からの定常成分 $ \tilde{Z}_t $ の寄与は漸近的に極限分布から消えるため、極限分散に寄与するのは、周期的平均関数 $ \tilde{h}(t) $ および周期的関数 $ \phi_i $ のみである。
• 極限分散は $ \Sigma_0 = \left( \begin{smallmatrix} \bar{G} & -\bar{a} \\ -\bar{a}^T & \bar{b} \end{smallmatrix} \right) $ で与えられ、ここで $ \bar{G}_{ij} = \alpha^H H(2H-1) \int_0^1 \int_0^1 \phi_i(s)\phi_j(t) |t-s|^{2H-2} ds dt $ であり、$ \bar{b} $ は $ \tilde{h}(t) $ の自己相関を含む。