[論文レビュー] Estimating Extremal Dependence in Univariate and Multivariate Time Series via the Extremogram

Richard A. Davis, Thomas Mikosch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、極値依存性を定量化するためのツールである extremogram に対する信頼区間を構築するための頑健な手法として、stationary bootstrap を導入している。extremogram を多変量依存性の分析に拡張するための cross-extremogram にまで拡張し、金融時系列データに適用することで、極値依存の持続性に関する推論が向上することを示している。

ABSTRACT

Davis and Mikosch [7] introduced the extremogram as a flexible quantitative tool for measuring various types of extremal dependence in a stationary time series. There we showed some standard statistical properties of the sample extremogram. A major difficulty was the construction of credible confidence bands for the extremogram. In this paper, we employ the stationary bootstrap to overcome this problem. Moreover, we introduce the cross extremogram as a measure of extremal serial dependence between two or more time series. We also study the extremogram for return times between extremal events. The use of the stationary bootstrap for the extremogram and the resulting interpretations are illustrated in several univariate and multivariate financial time series examples.

研究の動機と目的

• extremogram に対する信頼できる信頼区間の欠如という、極値依存性分析における主要な課題に対処すること。
• 複数の時系列間の自己相関を測定するため、extremogram を多変量設定に拡張するための cross-extremogram を用いて拡張すること。
• 高 quantile を用いた、重い尾を持つ金融時系列における尾依存性の推定のための実用的で漸近的でないフレームワークを提供すること。
• 標準的な漸近的推論におけるバイアスと分散の推定問題を、リサンプリング手法を用いて克服すること。
• 実際の金融データを用いた実証的応用を通じて、極値イベントの持続性を示すことで、本手法の有用性を実証すること。

提案手法

• サンプル extremogram のサンプリング分布を近似するために stationary bootstrap を用い、有効な信頼区間の構築を可能にする。
• 母集団 extremogram の理論的極限の代わりに、周辺分布の高 quantile $ a_m $ を用いてサンプル extremogram を定義する。
• ターゲットパラメータとして、時刻 0 における極値が与えられたもとでのラグ $ h $ における極値イベントの条件付き確率である pre-asymptotic extremogram $ \rho_{A,B:m}(h) $ を採用する。
• ブートストラップ統計量の多変量中心極限定理を用いて、extremogram 推定量のブートストラップ分布の漸近的正規性を正当化する。
• mixing 条件とエルゴディシティの仮定を用いて、ブートストラップ推定量の漸近的共分散構造を導出する。
• Cramér-Wold の定理と三角行列アプローチを用いて、ブートストラップ分布の弱収束が多変量正規分布の極限に一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な漸近的分散推定が非現実的である状況において、extremogram に対する信頼できる信頼区間をどのように構築できるか？
• RQ2 非 i.i.d. かつ重い尾を持つ時系列、特に金融データにおいて extremogram の挙動はどのように変化するか？
• RQ3 単変量の尾依存性を越えて、複数の時系列間の極値依存性をどのように測定できるか？
• RQ4 弱依存のもとで、stationary bootstrap は extremogram 推定量のサンプリング分布を一貫して推定できるか？
• RQ5 有限標本における extremogram のバイアスと分散に、高 quantile 推定がどのように影響を与えるか？

主な発見

• stationary bootstrap は、漸近的分散の推定が困難な状況においても、extremogram に対して漸近的に有効な信頼区間を提供する。
• cross-extremogram は、複数の時系列間の極値自己相関を効果的に捉えており、単変量 extremogram を多変量設定に拡張している。
• pre-asymptotic extremogram $ \rho_{A,B:m}(h) $ は、母集団 extremogram の極限が計算しにくい状況でも、一貫性があり解釈可能な尾依存性推定量である。
• mixing 条件とモーメント条件のもとで、ブートストラップ extremogram 推定量の漸近的分布は多変量正規分布に収束する。
• 本手法は金融時系列データに対して実証的に検証され、極値リターンの顕著な持続性と極値イベントのクラスタリングを明らかにした。
• ブートストラップに基づく推論は、モデルの誤指定や重い尾の影響に対して頑健であり、現実の金融時系列データ分析に適している。