[論文レビュー] Estimating occupation time functionals

Randolf Altmeyer|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$d$次元の càdlàg過程の離散観測に基づき、マルコフ性ではなく周辺分布の正則性に依存する、$L^2$-近似法を強力に開発する。推定誤差に対するきつい上界を確立し、これはブラウン運動に対しては鋭い（小さな多項式要因を除いて）ことが示され、分数カリオン運動に対しても初めて適用される。

ABSTRACT

The strong $L^2$-approximation of occupation time functionals is studied with respect to discrete observations of a $d$-dimensional cadlag process. Upper bounds on the error are obtained under weak assumptions, generalizing previous results in the literature considerably. The approach relies on regularity for the marginals of the process and applies also to non-Markovian processes. The results are used to approximate occupation times and local times, which is done here for fractional Brownian motion for the first time. For Brownian motion, the upper bounds are shown to be sharp, up to arbitrarily small polynomial factors.

研究の動機と目的

• 離散的観測下における$d$次元の càdlàg過程の職業時間関数への$ L^2 $-近似フレームワークを強固に開発すること。
• 特にマルコフ構造の必要性を回避することで、前提条件を緩和して先行研究を一般化すること。
• 非マルコフ過程に適用可能な誤差境界を提供すること、特に分数カリオン運動を含む。
• ブラウン運動に対して誤差境界の鋭さを示し、任意に小さい多項式要因の範囲で成立させること。
• 分数カリオン運動に対する局所時間および職業時間の初めての近似を可能にすること。

提案手法

• 過程の有限次元周辺分布に対する正則性条件を用いて誤差境界を導出する。
• 離散的観測スキームにおける過程に対して、強力な$L^2$-近似技術を適用する。
• 弱いモーメントおよび連続性の仮定の下で、職業時間関数推定器の$L^2$-誤差に対する上界を導出する。
• 職業時間関数を可測な成分に分解することで、近似誤差を制御する。
• マルコフ過程の遷移構造ではなく、パスの正則性と周辺挙動に注目することで、非マルコフ過程へのフレームワークの拡張を図る。
• ブラウン運動の場合に、下界の多項式要因と一致する結果を用いて、境界の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎過程に最小限の仮定を置く場合、離散的観測下での職業時間関数をどのように近似できるか？
• RQ2 過程が非マルコフ的である場合、$L^2$-近似における職業時間の誤差境界はどのように確立できるか？
• RQ3 得られた誤差境界は、ブラウン運動のような標準的な拡散過程に対しても鋭いか？
• RQ4 提案手法は、分数カリオン運動のような自己相似過程へ拡張可能か？
• RQ5 一般の càdlàg過程において、周辺正則性は近似誤差を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された$L^2$-近似法は、弱い仮定のもとで推定誤差の上界を達成し、先行研究を大幅に一般化する。
• 誤差境界はブラウン運動に対して鋭い（任意に小さい多項式要因を除いて）ことが示され、そのタイトさが確認される。
• マルコフ性の遷移法則ではなく、有限次元周辺分布の正則性に依存することで、非マルコフ過程にも適用可能である。
• 本稿では、分数カリオン運動に対する局所時間および職業時間の近似が初めて可能になる。
• このフレームワークは、マルコフ的および非マルコフ的過程、特に自己相似過程を含む職業時間推定の統一的アプローチを提供する。