[論文レビュー] Estimating the Entanglement Negativity from low-order moments of the partially transposed density matrix

Hilary A. Carteret|arXiv (Cornell University)|May 27, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分的に転置された密度行列の低次のモーメントのみを用いて、モデルに依存しない方法で二部量子系の量子もつれネガティビティを推定する手法を提示する。これらのモーメントから主表現を構築することで、上界と下界の族を導出し、3つのレプリカを用いることで下界を達成し、4つのレプリカを用いることで上界を達成する。これにより、統計的ノイズやデータが限られた状況下でも、堅牢なもつれ推定が可能になる。

ABSTRACT

We show how to find families of infima and suprema for the entanglement negativity using only a few, low-order moments of the partially transposed density matrix $ρ^{T_2}.$ These moments can be measured using the multi-copy quantum circuits previously given by the author, which define a set of multi-copy expectation values and thus can be used with the replica trick. As such, these bounds are suitable for use with Quantum Monte Carlo methods, and the lower order versions of the estimates may be experimentally accessible for some systems. Using more moments for higher-order versions of these methods will produce tighter estimates, unless and until statistical noise causes the measurement of the highest order moment to fail. Should this happen, the data from lower order moments can still be used for lower-order estimates.

研究の動機と目的

• 部分的に転置された密度行列の固有値スペクトルの完全な知識がなくても、もつれネガティビティを推定する手法を開発すること。
• 密度行列の少数の低次のモーメントのみを用いて、もつれネガティビティの計算可能な上下界を提供すること。
• 量子モンテカルロ法や実験的状況における統計的ノイズに対して、高次のモーメントが失敗した場合でも、低次の推定が有効であるように、耐障害性を確保すること。
• 有限温度や混合状態系におけるもつれスケーリングや長距離相関の研究を可能にすること。
• 導出された上下界がもつれモノトーンとして解釈可能かどうか、また、濃縮プロトコルに向けた量子回路への実装が可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 部分的に転置された密度行列 $\rho^{T_2}$ の低次のモーメント（4次まで）を入力とし、マルチコピー量子回路や量子モンテカルロ法により得る。
• レプリカトリックを適用して、$\rho^{T_2}$ のモーメントとその累乗のトレースを関連づけ、固有値再構成のための連立方程式系を構築する。
• 根を $a$, $\lambda_1$, および $\lambda_2$ に持ち、重みを $M_a$, $M_1$, および $M_2$ とする主表現を構築し、固有値スペクトルをモデル化する。
• モーメント方程式 $c_j = \sum M_i \lambda_i^j$ に対してガウスの消去法を適用し、$c_{2k} = \mu_{2k}$ および $c_{2k+1} = \nu_{2k+1}$ を用いて重みを解く。
• 式 $\mathcal{N} = \frac{1}{2}((|\lambda_1| - \lambda_1)M_1 + M_a)$ を用いてネガティビティの上下界を導出する。ここで $M_1$ と $M_a$ はモーメント制約から解かれる。
• 下界または上界としての境界を、$\lambda_1$ の符号に応じて上限または下限として扱い、最小固有値の符号が不明な場合でも有効であるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に転置された密度行列の少数の低次のモーメントからのみ、もつれネガティビティを信頼性高く推定できるか？
• RQ2 完全なスペクトルの知識がなくても、ネガティビティの上下界を体系的に導出できるか？
• RQ3 高次のモーメントが統計的ノイズによって損なわれた場合でも、この手法は耐障害性を保てるか？
• RQ4 導出された上下界はもつれモノトーンとして解釈可能であり、濃縮プロトコルに向けた量子回路に実装可能か？
• RQ5 このアプローチは、有限温度系における長距離もつれや面積則からの逸脱を検出可能か？

主な発見

• 3つのレプリカ（3次モーメント）のみを用いることで、もつれネガティビティの下界を取得でき、ノイズやデータが限られた状況でも利用可能になる。
• 4つのレプリカ（4次モーメント）を用いることで、もつれネガティビティの上界が達成可能であり、高次のデータが利用可能であればより鋭い推定が可能になる。
• 最高次のモーメントがノイズによって失敗しても、この手法は依然として機能する。低次のモーメントからも推定が可能であるため、より低い段階の推定が有効に保たれる。
• 上下界は、根が $a$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ にあり、モーメント制約から決定される重みを持つ主表現を介して導出される。
• 導出された境界の式は明示的であり、測定可能なモーメントのみに依存する。$\mu_2, \nu_3, \mu_4, \lambda_1, \lambda_2, a$ の関数として、$M_a$ と $M_1$ の閉形式解が得られる。
• この手法は完全にモデルに依存せず、量子モンテカルロ、実験的設定、混合状態や有限温度状態の系に対しても適している。