[論文レビュー] Estimating the Probability of Meeting a Deadline in Hierarchical Plans

Liat Cohen, Solomon Eyal Shimony+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2015

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、不確実なタスク実行時間を有する階層的計画が所定のデッドラインを満たす確率を推定する決定的で多項式時間の近似アルゴリズムを提示する。シーケンスノードと並列ノードの両方に対して誤差有界のビニング技術を組み合わせることで、形式的な加法的誤差バウンズを提供し、精度と実行時間の両面でサンプリングを上回る。また、計画サイズと所望の精度に多項式的にスケーリングする、証明された複雑度を有する。

ABSTRACT

Given a hierarchical plan (or schedule) with uncertain task times, we propose a deterministic polynomial (time and memory) algorithm for estimating the probability that its meets a deadline, or, alternately, that its {\em makespan} is less than a given duration. Approximation is needed as it is known that this problem is NP-hard even for sequential plans (just, a sum of random variables). In addition, we show two new complexity results: (1) Counting the number of events that do not cross deadline is \#P-hard; (2)~Computing the expected makespan of a hierarchical plan is NP-hard. For the proposed approximation algorithm, we establish formal approximation bounds and show that the time and memory complexities grow polynomially with the required accuracy, the number of nodes in the plan, and with the size of the support of the random variables that represent the durations of the primitive tasks. We examine these approximation bounds empirically and demonstrate, using task networks taken from the literature, how our scheme outperforms sampling techniques and exact computation in terms of accuracy and run-time. As the empirical data shows much better error bounds than guaranteed, we also suggest a method for tightening the bounds in some cases.

研究の動機と目的

• 不確実なタスク実行時間を有する階層的計画がデッドラインを満たす確率を推定する効率的な手法を開発すること。
• 順序付きおよび並列的な構成を併用するタスクネットワークにおけるデッドライン確率推定のNP困難性に対処すること。
• 計画サイズおよび精度要件に対して、多項式時間および多項式記憶領域複雑度の形式的近似バウンズを提供すること。
• サンプリングベースの手法および正確な計算と比較して、より優れた精度と実行時間性能を示すこと。
• 新たな複雑度結果を確立する：非デッドラインイベントの数を数える問題は#P困難であり、混合された順序付きおよび並列ノードを有する階層的計画の期待完了時間の計算はNP困難である。

提案手法

• 階層的計画における完了時間分布を近似するために決定的ビニング技術を用い、シーケンスノードと並列ノードを別々に処理する。
• 各ノードにおける確率質量関数（PMF）の誤差有界集約を適用し、加法的誤差バウンズが木構造全体に予測可能に伝播することを保証する。
• 原始的タスク実行時間の離散化されたサポート上で動的計画法を用いて、近似された累積分布関数（CDF）を計算する。
• 近似された分布に対して、近い値を誤差を意識した併合を用いて、状態空間を削減するシーケンス（和）および並列（最大値）演算を組み合わせる。
• ノード数、確率変数のサポートサイズ、逆精度に多項式的に成長する形式的な加法的誤差バウンズを導出する。
• 観測された誤差が保証されたものより低い場合に理論的バウンズを厳密化し、実用的な精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不確実なタスク実行時間を有する階層的計画において、デッドラインを満たす確率を近似する決定的で多項式時間のアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 そのような近似の理論的誤差バウンズは何か？ また、計画サイズおよび所望の精度にどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 提案手法は、サンプリングベースのアプローチおよび正確な計算と比較して、精度と効率の両面でどのように異なるか？
• RQ4 このような計画における非デッドラインイベントの数を数える問題は#P困難か？
• RQ5 順序付きおよび並列ノードが混合した階層的計画の期待完了時間を計算することはNP困難か？

主な発見

• 階層的計画におけるデッドラインを満たす確率を推定する問題は、シーケンシャル計画に対してもNP困難である。
• デッドラインを超えないイベントの数を数える問題は#P困難であり、強い複雑度下限を確立する。
• 順序付きおよび並列ノードを併用する階層的計画の期待完了時間を計算することはNP困難であるが、個々のノードタイプに対しては正確な計算が効率的に行える。
• 提案された近似アルゴリズムは、ノード数、確率変数のサポートサイズ、逆精度に関して、多項式時間および多項式記憶領域複雑度を達成する。
• 実験的評価では、実際の誤差が理論的バウンズよりも顕著に低く、よりタイトな実用的誤差推定が可能である。
• 特に大規模または複雑なタスクネットワークにおいて、本手法はサンプリング法を精度と実行時間の両面で上回る。