[論文レビュー] Estimating the transition matrix of a Markov chain observed at random times

Flavia Barsotti, Yohann de Castro+2 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、観測間の時間差が未知かつ独立同分布(i.i.d.)であるが、ランダムに薄められた部分列しか観測できない場合に、離散時間マルコフ連鎖の遷移行列 $ P $ の一貫性があり閉形式の推定器を提案する。$ P $ と観測された遷移行列 $ Q $ の可換性を活用し、スパarsity構造（サポート制約）を既知と仮定することで、Lie括弧の最小化を用いて $ P $ を回復する。理論的およびシミュレーションによる検証を通じて、漸近正規性と一貫性を確立する。

ABSTRACT

In this paper we develop a statistical estimation technique to recover the transition kernel $P$ of a Markov chain $X=(X_m)_{m \\in \\mathbb N}$ in presence of censored data. We consider the situation where only a sub-sequence of $X$ is available and the time gaps between the observations are iid random variables. Under the assumption that neither the time gaps nor their distribution are known, we provide an estimation method which applies when some transitions in the initial Markov chain $X$ are known to be unfeasible. A consistent estimator of $P$ is derived in closed form as a solution of a minimization problem. The asymptotic performance of the estimator is then discussed in theory and through numerical simulations.

研究の動機と目的

• 観測がランダムに薄められた部分列であり、観測間の時間差が未知である場合に、マルコフ連鎖の遷移行列 $ P $ の統計的推定を扱う。
• 時間差が未知かつi.i.d.である場合に生じる同定可能性の問題を解消する。
• 遷移行列 $ P $ のサポート（すなわち、不可能な遷移）が既知であるという仮定の下で、一貫性があり閉形式の推定器を構築する。
• 最小限の正則性条件の下で、提案された推定器の漸近正規性および一貫性を確立する。
• 間引き・不規則観測されたデータを有するスパースマルコフ連鎖における推論のためのフレームワークを提供する。

提案手法

• 観測プロセス $ Y_k = X_{T_k} $ を、i.i.d.な時間ギャップ $ \tau_k $ を持つ潜在マルコフ連鎖 $ X_m $ の薄められたバージョンとしてモデル化する。
• 観測されたプロセス $ Y_k $ が遷移行列 $ Q $ を持つマルコフ連鎖のままであり、$ Q $ が $ P $ の解析関数であること、および $ P $ と $ Q $ が同じ固有ベクトルを持つという事実を活用する。
• コアとなる推定器は、Lie括弧 $ [P, Q] $ の $ \ell_2 $-ノルムを最小化することで得られ、$ \hat{Q} $ の可換核への射影を介して閉形式の解が得られる。
• 推定器は $ \hat{p} = F(\hat{Q}) $ の形で構築され、$ F $ は可換性条件と既知のサポート $ S $ から導かれる微分可能関数である。
• Cramérのデルタ法を用いて、$ F $ の微分を $ Q $ で評価することで、漸近正規性を確立する。
• 漸近分散は、$ \Phi $ がサポート制約を符号化する行列であるとき、$ \Phi^\top \Delta(Q)^\top \Delta(Q) \Phi $ を含む行列の逆行列を用いて計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測がランダムに薄められた部分列であり、時間差が未知である場合に、遷移行列 $ P $ はどのような条件下で同定可能か？
• RQ2 $ P $ のサポートが既知であるが時間ギャップ分布が未知である場合に、一貫性があり閉形式の推定器を構築できるか？
• RQ3 $ P $ と $ Q $ の可換性が、観測連鎖の実証的遷移行列 $ \hat{Q} $ から $ P $ を回復するのにどのように寄与するか？
• RQ4 与えられたモデル仮定の下で、提案された推定器の漸近的性質（特に一貫性および漸近正規性）は何か？
• RQ5 スパarsity構造（$ P $ の既知のゼロ要素）は、同定可能性の確保と推定の実現にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 推定器 $ \hat{p} $ は一貫性があり、Lie括弧の最小化から得られる閉形式の式を有する。
• 同定可能性が成り立つのは、$ \Delta(Q)\Phi $ がフルランクであるとき、かつそのときに限り成立する。
• 推定器の漸近分布は、平均がゼロで、共分散行列が $ \left( \Phi^\top \Delta(Q)^\top \Delta(Q) \Phi \right)^{-1} $ に比例する正規分布である。
• 推定器は、サポート制約を満たすすべての推定器の中で漸近的に最適であり、その漸近分散が最小である。
• モンテカルロシミュレーションにより、$ P $ と $ \mu $ のさまざまな設定において、推定器の一致性および良好な有限標本性能が確認された。
• 時間ギャップ分布 $ \mu $ が未知であっても、$ P $ のサポートが既知で、同定可能性条件が満たされていれば、本手法は有効である。