[論文レビュー] Estimation and Prediction using generalized Wendland Covariance Functions under fixed domain asymptotics

Moreno Bevilacqua, Tarik Faouzi+2 more|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Jul 23, 2016

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、固定ドメイン漸近的枠組み下で、一般化ウェンランド（GW）共分散関数を用いたガウス型確率場における最尤推定および予測の漸近的性質を確立する。微小エルゴード的パラメータ推定の強収束性および漸近正規性を証明し、特定の条件下でGWモデルとマテrnモデルが同等であることを示し、大規模空間データセットにおける効率的かつスパース行列ベースの推論を可能にする。

ABSTRACT

We study estimation and prediction of Gaussian random fields with covariance models belonging to the generalized Wendland (GW) class, under fixed domain asymptotics. As the Matérn case, this class allows a continuous parameterization of smoothness of the underlying Gaussian random field, being additionally compactly supported. The paper is divided into two parts: First, we characterize the equivalence of two Gaussian measures with GW covariance function, and we provide sufficient conditions for the equivalence of two Gaussian measures with Matérn and GW covariance functions. We elucidate the consequences of these facts in terms of (misspecified) best linear unbiased predictors. In the second part, we establish strong consistency and asymptotic distribution of the maximum likelihood estimator of the microergodic parameter associated to GW covariance model, under fixed domain asymptotics. Our findings are illustrated through a simulation study: The first compares the finite sample behavior of the maximum likelihood estimation of the microergodic parameter with the given asymptotic distribution. We then compare the finite-sample behavior of the prediction and its associated mean square error when using two equivalent Gaussian measures with Matérn and GW covariance model, using covariance tapering as benchmark.

研究の動機と目的

• 一般化ウェンランド（GW）共分散関数を有するガウス型確率場における微小エルゴード的パラメータの最尤推定の漸近的性質を確立すること。
• 固定ドメイン漸近的枠組み下で、GW共分散関数によって誘導される2つのガウス測度の同等性を特徴づけること。
• GWおよびマテrn共分散関数が同等のガウス測度を誘導する条件を調査し、モデル不適合下でも頑健な予測を可能にする。
• GWモデルを用いた最尤推定および予測の有限標本性能を評価し、特に共分散タッピング法や不適合モデルと比較する。
• 大規模空間データセットにおいて、固有のコンパクトサポートとスパース行列構造を有するため、GWモデルが従来の共分散タッピング法に比べて実用的利点を有することを示す。

提案手法

• カマリル・マーティン定理およびスペクトル解析を用いて、GW共分散関数を有する2つのガウス測度の同等性の十分条件を導出する。
• 固定ドメイン漸近的理論を適用し、コンパクトサポートが既知または推定済みの場合のGWモデルにおける微小エルゴード的パラメータの最尤推定の強収束性および漸近正規性を証明する。
• GW共分散関数のスペクトル表現を用いて、有界領域上でのサンプリング密度の増大に伴う挙動を解析する。
• 最適線形不偏予測子（BLUP）および平均二乗誤差（MSE）を基準として、不適合下におけるGWモデルとマテrnモデルの予測性能を比較する。
• シミュレーションスタディを用いて、有限標本における最尤推定および予測の挙動を評価し、漸近的近似と対比する。
• 任意のコンパクトサポート選択が推定精度に与える影響、特に真の母数範囲パラメータとの関係を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定ドメイン漸近的枠組み下で、一般化ウェンランド共分散関数を有する2つのガウス測度が同等となる条件は何か？
• RQ2 固定ドメイン漸近的枠組み下で、一般化ウェンランド共分散関数モデルの微小エルゴード的パラメータは一貫して推定可能か？その漸近分布は何か？
• RQ3 マテrnおよび一般化ウェンランド共分散関数が同等のガウス測度を誘導する条件は何か？
• RQ4 固定ドメイン漸近的枠組み下で、GWモデルと不適合マテrnモデル、または共分散タッピングモデルを用いた予測効率はどのように比較されるか？
• RQ5 コンパクトサポートの選択が、GWモデルにおける有限標本の最尤推定および予測性能にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 固定ドメイン漸近的枠組み下で、一般化ウェンランド共分散関数モデルの微小エルゴード的パラメータは、コンパクトサポートが推定されても強収束性および漸近正規性を有する。
• マテrnおよび一般化ウェンランド共分散関数を有する2つのガウス測度が同等となる十分条件を提示し、モデル不適合下でも有効な予測を可能にする。
• シミュレーション結果から、固定コンパクトサポートを用いた有限標本における最尤推定の性能は、特にサポートが不適切な場合に著しく劣るが、パラメータを同時に推定することで著しく改善される。
• 等価なコンパクトサポートを有するGWモデルによる予測は、ナーブな共分散タッピング（CT）予測子および不適合マテrnモデルを上回り、特にタッピングサポートが小さすぎる場合に顕著に優れる。
• GWモデルは、固有のコンパクトサポートと最小限のバイアスでマテrn共分散関数を密に近似できるため、大規模空間データセットにおける共分散タッピング法の優れた代替手段を提供する。
• 二重タッピング法は計算的に非現実的であり、GWモデリングと比較不能である。GWモデルは、推定においてワンタッピング法よりも効率的かつ正確である。