[論文レビュー] Estimation and Simulation of a COGARCH(p,q) model in the YUIMA project

Stefano M. Iacus, Lorenzo Mercuri+1 more|Archivio Istituzionale della Ricerca (Universita Degli Studi Di Milano)|May 14, 2015

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ひとこと要約

本稿では、Rのyuimaパッケージを用いてCOGARCH(p,q)モデルのシミュレーションと推定の包括的フレームワークを提示する。Euler離散化と明示的なCARMAベースの分散解を活用する。3つの推定手法（MSE、MAE、適応重み付きGMM）を導入し、Lévyノイズの増分の回復とLévy測度パラメータの推定を可能にし、複合ポアソン過程および分散ガンマ過程を駆動源とするCOGARCH(1,1)およびCOGARCH(2,1)モデルにおける数値的妥当性を検証する。

ABSTRACT

In this paper we show how to simulate and estimate a COGARCH(p,q) model in the R package yuima. Several routines for simulation and estimation are available. Indeed for the generation of a COGARCH(p,q) trajectory, the user can choose between two alternative schemes. The first is based on the Euler discretization of the stochastic differential equations that identifies a COGARCH(p,q) model while the second one considers the explicit solution of the variance process. Estimation is based on the matching of the empirical with the theoretical autocorrelation function. In this case three different approaches are implemented: minimization of the mean square error, minimization of the absolute mean error and the generalized method of moments where the weighting matrix is continuously updated. Numerical examples are given in order to explain methods and classes used in the yuima package.

研究の動機と目的

• Rのyuimaパッケージを用いて高次COGARCH(p,q)モデルのシミュレーションと推定ツールを実装すること。
• COGARCHモデルにおけるLévy測度パラメータの推定と、潜在的なノイズ増分の回復を可能にすること。
• 一般のLévy過程を駆動源とするCOGARCH過程のシミュレーションと推定を統合的に実行可能な計算環境を提供すること。
• 複合ポアソン過程および分散ガンマ過程を駆動源とするCOGARCH(1,1)およびCOGARCH(2,1)モデルに対して、手法の妥当性を検証すること。
• 標準的なCOGARCH(1,1)ケースを超えた、RにおけるCOGARCHモデルの関数性を拡張すること。

提案手法

• 2通りのシミュレーションスキーム：SDE系のEuler離散化と、CARMA(q,p-1)分散過程の明示的解法。
• 3つの手法による自己相関関数の一致による推定：MSE最小化、MAE最小化、連続的に更新された重み行列を用いた2段階GMM。
• COGARCH(p,q)のオブジェクト指向クラスを用いたモデル指定。Lévy過程のパrameterizationには強度とジャンプサイズ分布を用いる。
• 推定されたモデルパラメータとシミュレートされたデータを用いて、潜在的なLévyノイズ増分を再構築する。
• `simulate`関数を用いて、推定された増分プロセスからCOGARCH軌道を生成する。
• 推定効率を向上させるために、適応重み付き一般化モーメント法（GMM）の実装。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rのyuimaパッケージを用いて、一般のLévy過程を駆動源とするCOGARCH(p,q)モデルを連続時間で効率的にシミュレートする方法は何か？
• RQ2 COGARCH(p,q)モデルにおけるMSE、MAE、GMMの各推定手法の性能特性を比較するとどうなるか？
• RQ3 yuimaパッケージはCOGARCHモデルにおける潜在的Lévy過程の増分を回復できるか？
• RQ4 COGARCH(p,q)モデルにおいて、Lévy測度パラメータ（例：強度、ジャンプサイズ分布）の推定精度はどの程度か？
• RQ5 複合ポアソン過程および分散ガンマ過程を駆動源とするCOGARCH(1,1)およびCOGARCH(2,1)モデルにおいて、推定フレームワークの実証的性能はいかがなものか？

主な発見

• yuimaパッケージは、複合ポアソン過程および分散ガンマ過程を含む一般のLévy過程をサポートするCOGARCH(p,q)モデルのシミュレーションと推定を成功裏に実装した。
• 複合ポアソン過程を駆動源とするCOGARCH(1,1)モデルでは、推定パラメータがa0 = 1.032、a1 = 0.034、λ = 1.074であり、対数尤度は-3.491であった。
• 分散ガンマ過程を駆動源とするCOGARCH(1,1)モデルでは、推定パラメータがb1 = 0.051、a1 = 0.029、a0 = 1.249、λ = 1.049、α = 1.466であり、対数尤度は-3.755であった。
• 複合ポアソン過程を駆動源とするCOGARCH(2,1)モデルでは、推定パラメータがb2 = 0.057、b1 = 0.952、a1 = 0.028、a0 = 0.296であり、対数尤度は-3.324であった。
• 推定された増分プロセスを用いてCOGARCH軌道が効果的に再構築され、シミュレーションと推定パイプラインの妥当性が確認された。
• 適応重み付きGMMと増分回復を組み合わせた推定フレームワークは、COGARCH(p,q)モデルにおける推論に対して頑健な枠組みを提供する。