[論文レビュー] Estimation and tests for models satisfying linear constraints with unknown parameter

Michel Broniatowski, Amor Keziou|ArXiv.org|Nov 21, 2008

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、未知のパラメータを含む線形制約を持つ統計モデルにおけるパラメータ推定および仮説検定のための発散最小化フレームワークを提案する。Empirical likelihood（EL）および一般化されたempirical likelihood（GEL）手法を拡張することで、最小発散推定量の漸近正規性と有効性を確立し、Hellinger発散はシミュレーションにおいて強いロバストネスと有効性を示す。

ABSTRACT

We introduce estimation and test procedures through divergence minimization for models satisfying linear constraints with unknown parameter. Several statistical examples and motivations are given. These procedures extend the empirical likelihood (EL) method and share common features with generalized empirical likelihood (GEL). We treat the problems of existence and characterization of the divergence projections of probability measures on sets of signed finite measures. Our approach allows for a study of the estimates under misspecification. The asymptotic behavior of the proposed estimates are studied using the dual representation of the divergences and the explicit forms of the divergence projections. We discuss the problem of the choice of the divergence under various respects. Also we handle efficiency and robustness properties of minimum divergence estimates. A simulation study shows that the Hellinger divergence enjoys good efficiency and robustness properties.

研究の動機と目的

• 未知のパラメータを含む線形制約によって定義される統計モデルにおける推定および仮説検定手順の開発。
• 未知パラメータを含む線形制約を持つモデルを扱えるように、empirical likelihoodおよび一般化されたempirical likelihood手法を拡張すること。
• 双対性および発散射影理論を用いて、モデル不適合下での最小発散推定量の漸近的挙動を研究すること。
• さまざまな発散測度における最小発散推定量の有効性およびロバストネスを評価すること。
• 未知パラメータの信頼領域を構築し、標準的な経験的分布関数（CDF）を超えて分布関数の推定を改善すること。

提案手法

• 発散最小化を用いて、線形制約を満たす符号付き有限測度の集合へ経験的測度を射影する。
• 発散の双対表現を適用し、正則性条件下での推定量の漸近分布を導出する。
• 発散射影フレームワークを用いて、最小発散推定量の存在および一意性を特徴付ける。
• 推定方程式におけるテイラー展開および中心極限定理を用いて、パラメータ推定量の漸近正規性を導出する。
• 発散最小化重みに基づく修正された経験的分布関数を導入し、標準的な経験的CDFを改善する。
• ヘッシアン行列および情報行列の明示的表現を用いて、分布関数推定量の漸近分散を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 未知のパラメータを含む線形制約を持つモデルにおいて、どのように発散最小化を用いて推定および仮説検定を行うことができるか？
• RQ2 モデル不適合下での最小発散推定量の漸近的性質は何か？
• RQ3 （例：Hellinger、Kullback-Leiblerなど）どの発散測度が、この枠組みにおいて有効性とロバストネスのバランスを最も良く満たすか？
• RQ4 提案手法は、経験的CDFよりも分布関数の推定をより効率的に可能にするか？
• RQ5 分布関数推定量の漸近分散は、制約構造および発散選択にどのように依存するか？

主な発見

• 正則性条件下で、提案された最小発散推定量は漸近正規性を示し、収束速度は $O_P(1/ u{n})$ のオーダーである。
• 分布関数推定量の漸近分散は、$W(x) = F(x)(1-F(x)) - [P_0(g( heta_0)one_{(-∞,x]})]^T Γ [P_0(g( heta_0)one_{(-∞,x]})]$ で与えられ、ここで $\Gamma$ は制約およびスコア関数に依存する行列である。
• 提案された枠組み下で、パラメータ $\theta_0$ の推定量および発散射影 $c_{\theta}$ は漸近的に無相関である。
• シミュレーション研究により、Hellinger発散は優れた有効性とロバストネスを示す推定量をもたらすことが確認された。
• 提案された分布関数推定量は、特にモデル不適合下において、経験的CDFよりも優れた有限標本性能を達成する。
• 制約が情報を持つ場合、経験的CDFに比べて、分布関数推定量の漸近分散は制約多様体への射影により低減される。