[論文レビュー] Estimation in discretely observed Markov processes killed at a threshold

Enrico Bibbona, Susanne Ditlevsen|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2010

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、しきい値に到達した時点で停止する（killed）離散的に観測されたマコフ過程の尤度に基づく推論を開発し、標準的手法における顕著なバイアスを是正する。正確な尤度計算とパラメトリックブートストラップを提案し、平均最初通過時間（mean first-passage time）が有限である場合、複数の軌道が観測される条件下で一貫性および漸近正規性が成立することを示す。

ABSTRACT

Parameter estimation in diffusion processes from discrete observations up to a first-hitting time is clearly of practical relevance, but does not seem to have been studied so far. In neuroscience, many models for the membrane potential evolution involve the presence of an upper threshold. Data are modeled as discretely observed diffusions which are killed when the threshold is reached. Statistical inference is often based on the misspecified likelihood ignoring the presence of the threshold causing severe bias, e.g. the bias incurred in the drift parameters of the Ornstein-Uhlenbeck model for biological relevant parameters can be up to 25-100%. We calculate or approximate the likelihood function of the killed process. When estimating from a single trajectory, considerable bias may still be present, and the distribution of the estimates can be heavily skewed and with a huge variance. Parametric bootstrap is effective in correcting the bias. Standard asymptotic results do not apply, but consistency and asymptotic normality may be recovered when multiple trajectories are observed, if the mean first-passage time through the threshold is finite. Numerical examples illustrate the results and an experimental data set of intracellular recordings of the membrane potential of a motoneuron is analyzed.

研究の動機と目的

• 離散的に観測された吸収境界を持つ拡散過程におけるパrameter推定のための統計的手法の欠如に対処すること。
• 標準的な尤度に基づく推論において殺滅機構を無視することで生じる顕著なバイアスを特定および定量すること。
• 正確な統計的推論を可能にするために、殺滅過程の尤度関数を開発すること。
• 単一軌道推定におけるバイアス是正のためのパラメトリックブートストラップの性能を評価すること。
• 複数の軌道が観測される条件下で、一貫性および漸近正規性が成立する条件を確立すること。

提案手法

• しきい値に最初に到達した時点で停止するマコフ過程の正確な尤度関数を導出すること。
• 吸収過程の遷移密度を用いて、離散的観測からの尤度を計算すること。
• 単一軌道からのパrameter推定におけるバイアス是正にパラメトリックブートストラップを適用すること。
• 最初通過時刻と終端状態の同時分布を活用し、殺滅下での尤度をモデル化すること。
• 独立同一分布(i.i.d.)の複数の軌道が観測される条件下で漸近的性質を確立し、平均最初通過時間が有限であると仮定すること。
• 正確な計算が不可能な場合、尤度が解析的に扱えない場合の数値近似手法を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 吸収境界を持つ拡散過程において、殺滅機構を無視すると、パrameter推定にどのような影響を与えるか？
• RQ2 離散的に観測された殺滅型拡散過程の尤度関数の正確な形は何か？
• RQ3 パラメトリックブートストラップは、単一軌道からのパrameter推定におけるバイアスを効果的に低減できるか？
• RQ4 殺滅過程において、標準的な漸近的結果（一貫性および漸近正規性）が成立する条件は何か？
• RQ5 実際の応用において、提案手法の有限標本特性は、誤指定された尤度アプローチと比べてどのように異なるか？

主な発見

• 尤度に基づく推論においてしきい値を無視すると、オーナイズ・ウーレンバック（Ornstein-Uhlenbeck）モデルのドリフトパラメータに最大25–100％のバイアスが生じる。
• 殺滅過程の正確な尤度関数は、吸収過程の遷移密度を用いて計算または近似可能である。
• パラメトリックブートストラップは、標準的手法が失敗する単一軌道推定におけるバイアスを顕著に低減する。
• 複数の独立した軌道が観測される場合、平均最初通過時間が有限であれば、推定量の一貫性および漸近正規性が回復される。
• 数値的例示および細胞内モトネウロンデータの分析により、提案手法が誤指定尤度アプローチを上回ることを確認した。
• 単一軌道に基づく殺滅過程モデルにおけるパrameter推定の分布は、著しく歪んでおり、高い分散を示す。