[論文レビュー] Estimation in semi-parametric regression with non-stationary regressors

Chen Jia, Jiti Gao+1 more|Adelaide Research & Scholarship (AR&S) (University of Adelaide)|May 15, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 29被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非定常回帰変数を伴う部分線形モデルに対して、非パラメトリック部がゼロ再帰的マーカフ過程によって駆動される半パラメトリック最小二乗（SLS）推定法を提案する。パラメトリック推定量の漸近正規性が標準的な $ \sqrt{n} $ 速度で確立され、非パラメトリック推定量の漸近分布が導出され、半パラメトリック回帰理論が非定常設定へと拡張される。

ABSTRACT

In this paper, we consider a partially linear model of the form $Y_t=X_t^τθ_0+g(V_t)+ε_t$, $t=1,...,n$, where $\{V_t\}$ is a $β$ null recurrent Markov chain, $\{X_t\}$ is a sequence of either strictly stationary or non-stationary regressors and $\{ε_t\}$ is a stationary sequence. We propose to estimate both $θ_0$ and $g(\cdot)$ by a semi-parametric least-squares (SLS) estimation method. Under certain conditions, we then show that the proposed SLS estimator of $θ_0$ is still asymptotically normal with the same rate as for the case of stationary time series. In addition, we also establish an asymptotic distribution for the nonparametric estimator of the function $g(\cdot)$. Some numerical examples are provided to show that our theory and estimation method work well in practice.

研究の動機と目的

• 非定常回帰変数を伴うモデルにおける半パラメトリック回帰理論のギャップ、特に非パラメトリック部がゼロ再帰的マーカフ過程に由来する場合に焦点を当てる。
• 非定常性下でも漸近的効率性と一致性を維持する新しい推定法を開発する。
• 従来、厳密定常過程に限られていた漸近理論を、非定常およびゼロ再帰的時系列へと拡張する。
• 非定常部を伴う状況下で、パラメトリックおよび非パラメトリック推定量の漸近分布を確立する。
• 経済・金融時系列における非定常特徴を有する文脈で半パラメトリック手法を用いる理論的根拠を提供する。

提案手法

• パラメトリック部 $ \theta_0 $ に対する半パラメトリック最小二乗（SLS）推定量と、非パラメトリック関数 $ g(\cdot) $ に対するカーネルベース推定量を提案する。
• バンド幅 $ h $ とカーネル $ K $ より導かれる密度 $ V_t $ を用いた重み関数 $ w_{nt}(v) $ を用いたカーネル加重平均化を実施する。
• コンact support や標準的な mixing 性質を欠くゼロ再帰的マーカフ過程 $ \{V_t\} $ を取り扱うために変換を適用する。
• 誤差過程 $ \{\epsilon_t\} $ に対して正規性条件を課し、定常性および $ \alpha $-mixing もしくは異分散性を許容する。
• 偏りと分散項を段階的な確率的展開およびマルティンゲール型の議論により分析することで漸近分布を導出する。
• 非定常性下での漸近的制御を可能にするために、近傍 $ N(n) $ 内の観測数を $ n^{\beta - \eta} $ に置き換える、革新的な技術的アプローチに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回帰変数が非定常であり、非パラメトリック部がゼロ再帰的マーカフ過程によって駆動される場合、半パラメトリック最小二乗推定がパラメトリック部に対して漸近正規性を保つことができるか？
• RQ2 非定常およびゼロ再帰的設計下で、非パラメトリック推定量 $ \widehat{g}_n(v) $ の漸近分布はいかなるものか？
• RQ3 提案されたSLS法は、半パラメトリック回帰における標準的な mixing 性および定常性仮定の破綻をどのように処理するか？
• RQ4 古典的半パラメトリック理論を i.i.d. および定常でない時系列へと拡張するために、どのような技術的修正が必要か？
• RQ5 非定常性下でも、$ \widehat{\theta}_n $ に対して $ \sqrt{n} $ 収束速度が保持されるか？

主な発見

• 非定常な $ \{X_t\} $ およびゼロ再帰的マーカフ過程 $ \{V_t\} $ の下でも、$ \theta_0 $ のSLS推定量は標準的な $ \sqrt{n} $ 速度で漸近正規性を示す。
• 非パラメトリック推定量 $ \widehat{g}_n(v) $ は漸近正規であり、ゼロ再帰性仮定の下でその漸近分布が導出された。
• 非パラメトリック推定におけるバイアス項は、$ \sqrt{\sum_t K((V_t - v)/h)} $ でスケーリングした際に $ o_P(1) $ であることが示され、一貫性が保証される。
• 誤差 $ \epsilon_t $ が $ \alpha $-mixing かつ定常である場合、非パラメトリック推定量の漸近分散は $ \sigma^2 \int K^2(u) du $ に収束する。
• 非定常回帰変数が存在するにもかかわらず、パラメトリック推定量 $ \widehat{\theta}_n $ は定常ケースと同等の漸近的効率性を達成する。
• 理論的結果は、提案手法の有限標本性能が良好であることを示す数値例によって裏付けられている。