[論文レビュー] Estimation of Causal Invertible VARMA Models

Anindya Roy, Tucker McElroy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正定値かつ直交行列を用いてブロックトーペリッツ行列をパrameter化することで、多変量因果的可逆VARMAモデルの新しい再パラメータ化を提示する。これにより、厳密な因果性および可逆性制約下での正確な尤度推定が可能となり、従来、複雑なパrameter空間の幾何構造のため実行不可能であった。主な貢献は、シュール安定な行列多項式の数学的に厳密な特徴付けであり、予測および動的システム解析における安定な推定を保証する。

ABSTRACT

We present a re-parameterization of vector autoregressive moving average (VARMA) models that allows estimation of parameters under the constraints of causality and invertibility. The parameter constraints associated with a causal invertible VARMA model are highly complex. Currently there are no procedures that can maintain the constraints in the estimated VARMA process, except in the special case of a vector autoregression (VAR), where some moment based causal estimators are available. Even in the VAR case, the available likelihood based estimators are not causal. The maximum likelihood estimator based on the full likelihood that does not condition on the initial observations by definition satisfies the causal invertible constraints but optimization of the likelihood under the complex constraints is an intractable problem. The commonly used Bayesian procedure for VAR often has posterior mass outside the causal set because the priors are not constrained to the causal set of parameters. We provide an exact mathematical solution to this problem. An $m$-variate VARMA$(p, q)$ process contains $(p+ q) m^2 + \binom{m+1}{2}$ parameters, which must be constrained to a subset of Euclidean space in order to guarantee causality and invertibility. This space is implicitly described in this paper, through the device of parameterizing the entire space of block Toeplitz matrices in terms of positive definite matrices and orthogonal matrices. The parameterization has connection to Schur- stability of polynomials and the associated Stein transformation that are often used in dynamical systems literature. As an important by-product of our investigation, we generalize a classical result in dynamical systems to provide a characterization of Schur stable matrix polynomials.

研究の動機と目的

• 一般VARMAモデルにおける因果性および可逆性を維持する推定手順の欠如に応えること。これは、安定な長期予測に不可欠である。
• 多変量時系列モデルにおける因果性および可逆性の暗黙的制約下での尤度最適化の非可解性を解消すること。
• 古典的シュール安定性結果を行列多項式へ一般化し、VARMAプロセスの安定なパrameter空間表現を可能とすること。
• 尤度ベース推定器が因果的・可逆的パrameter空間に留まる再パラメータ化を開発することにより、標準的MLEおよびベイズ法の限界を克服すること。
• 特にマクロエコノミクスおよび動的システム分野において、安定性が保証される計算的に実行可能なVARMAモデル推定フレームワークを提供すること。

提案手法

• ブロックトーペリッツ共分散行列構造を表現するために、正定値行列および直交行列を用いてVARMAモデルを再パラメータ化する。
• スティーン変換と行列式方程式を用い、係数行列Aと共分散行列を結びつけることでシュール安定性を確保する。
• 各ステップで正定値性を保証するため、$ C_t = U(0) - \xi_t' \underline{U}_{t-1}^{-1} \xi_t $ を含む再帰的公式を用いてパrameter空間を特徴付ける。
• 行列多項式 $ A(z) $ のシュール安定性と、共分散ブロック $ C_t $ の正定値性との等価性を確立する。
• 正定値行列 $ \underline{U}_k $ と $ C_k > 0 $ を満たすことで、同伴行列のすべての固有値 $ \lambda $ に対して $ |\lambda| < 1 $ が成り立つように安定なパラメータ化を構築する。
• ブロックトーペリッツ構造を活用し、因果性および可逆性の制約をパrameter空間に直接埋め込み、複雑な多様体上の数値最適化を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推定中に安定性を保証するように、因果的可逆VARMAモデルの空間をどのように再パラメータ化できるか。
• RQ2 VARMAモデルが因果的かつ可逆的であるための数学的条件は何か。そして、これらを尤度ベース推定フレームワークにどのように埋め込むことができるか。
• RQ3 スカラ多項式における古典的シュール安定性結果を、多変量時系列モデルにおける行列多項式へ一般化できるか。
• RQ4 標準的尤度ベース推定器およびベイズ推定器がなぜ因果性および可逆性を維持できないのか。そして、その欠陥をどのように是正できるか。
• RQ5 ブロックトーペリッツ行列と直交変換は、VARMAモデルの安定的かつ制約付きパラメータ空間を構築する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、因果的可逆VARMAモデルと正定値ブロックトーペリッツ行列との間の一対一対応を再パラメータ化によって確立し、因果性および可逆性制約を埋め込んでいる。
• 行列多項式 $ A(z) $ のシュール安定性が、共分散構造から再帰的に導かれる列 $ C_t $ の正定値性と等価であることを証明した。
• 動的システム分野における古典的結果を一般化し、シュール安定な行列多項式を列 $ C_0 > C_1 > \cdots > C_k > 0 $ の正の性質によって特徴付けた。
• 再パラメータ化により、全尤度に基づく最尤推定器が因果的・可逆的集合に留まることが保証され、長年の推定課題が解決された。
• 尤度ベース推定が安定性を保証するフレームワークを提供し、VARMAモデルにおける条件付き尤度や非制約的MLEの限界を克服した。
• 長期的安定性と解釈可能性を保証するため、多変量時系列における予測およびシステム同定の精度が向上する。