[論文レビュー] Estimation of conditional extreme risk measures from heavy-tailed elliptical random vectors

Antoine Usseglio‐Carleve|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Risk and Portfolio Optimization参考文献 52被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、重尾楕円分布ランダムベクトルから極値条件付きリスク尺度（$L_p$-quantiles や Haezendonck-Goovaerts リスク尺度など）を推定するための新規な手法を提案する。正則変動仮定の下で2つの極値的パラメータと漸近理論を活用することで、極値条件付き分位数の一貫性と漸近正規性を持つ推定量が導かれる。さらに、漸近的割合関係を用いて他のリスク尺度へと拡張される。

ABSTRACT

In this work, we focus on some conditional extreme risk measures estimation for elliptical random vectors. In a previous paper, we proposed a methodology to approximate extreme quantiles, based on two extremal parameters. We thus propose some estimators for these parameters, and study their asymptotic properties in the case of heavy-tailed distributions. Thereafter, from these parameters, we construct extreme conditional quantiles estimators, and give their consistency properties. Using recent results on the asymptotic relationship between quantiles and other risk measures, we deduce estimators for extreme conditional Lp-quantiles and Haezendonck-Goovaerts risk measures. In order to test the efficiency of our estimators, we propose a simulation study. A financial data example is also proposed.

研究の動機と目的

• 重尾楕円分布における極値条件付き分位数のための一貫性と漸近正規性を持つ推定量の開発。
• 漸近的割合関係を用いて、$L_p$-quantiles および Haezendonck-Goovaerts リスク尺度へのこれらの推定量の拡張。
• 正則変動仮定の下で極値的パラメータの存在に十分な条件の確立。
• シミュレーションスタディおよびファイナンスデータ例を通じた手法の妥当性の検証。
• 特に極値尾部挙動において、回帰ベースのアプローチの限界を解消すること。

提案手法

• 楕円分布の一貫性特性に基づく2パラメータの極値モデルを提案し、極値条件付き分位数を近似する。
• 正則変動尾仮定の下で極値的パラメータ $\eta$ および $\ell$ の推定量を導入する。
• 極値理論および von Mises 条件を用いて推定量の漸近正規性を導出する。
• 重尾設定における $L_p$-quantiles と分位数の間の漸近的割合関係を活用し、$L_p$-quantile 推定量を構築する。
• 同様の原則を、分位数との既知の漸近的関係を介して Haezendonck-Goovaerts リスク尺度へ適用する。
• シミュレーションスタディおよびファイナンスデータ例を用いて、推定量の有限標本性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾楕円分布ランダムベクトルに対して、極値的パラメータ $\eta$ および $\ell$ が存在する十分条件は何か？
• RQ2 この分布クラスにおける極値条件付き分位数のための一貫性と漸近正規性を持つ推定量をどのように構築できるか？
• RQ3 分位数推定量から導かれる $L_p$-quantile および Haezendonck-Goovaerts リスク尺度推定量の漸近的挙動は何か？
• RQ4 回帰ベースの手法と比較して、本手法の楕円モデルにおける尾部推定精度はどのように評価できるか？
• RQ5 シミュレーションおよび実際のファイナンスデータ設定において、有限標本性能はどの程度期待できるか？

主な発見

• 正則変動尾仮定の下で極値的パラメータ $\eta$ および $\ell$ の存在が確立され、漸近近似の有効性が保証される。
• ややきつい正則変動条件のもとで、$\eta$ および $\ell$ の推定量は一貫性と漸近正規性を有する。
• これらのパラメータに基づく極値条件付き分位数推定量も、同じ条件下で一貫性と漸近正規性を示す。
• 重尾設定における漸近的割合関係により、$L_p$-quantile 推定量は分位数推定量の漸近的性質を継承する。
• Haezendonck-Goovaerts リスク尺度推定量も、同様の理論的基盤に依拠し、一貫性と漸近正規性を有する。
• シミュレーションおよびファイナンスデータの結果から、本手法の極値尾部推定における実用的効果性とロバストネスが確認される。