[論文レビュー] Estimation of Integrated Functionals of a Monotone Density

Rajarshi Mukherjee, Bodhisattva Sen|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2018

Statistical Methods and Inference被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、$[0,\infty)$ 上の単調非増加密度関数の統合関数型に対するチューニングフリーなプラグイン推定量の漸近的分布を、グレナンドラー推定量を用いて確立する。最小限の正則性仮定の下で、$\pi$-一貫性、漸近正規性、および半パラメトリック効率性を証明しており、滑らかさ、ゼロ以外での正の性質、コンパクトな台の要請を一切必要としない。

ABSTRACT

In this paper we study estimation of integrated functionals of a monotone nonincreasing density $f$ on $[0,\infty)$. We find the exact asymptotic distribution of the natural (tuning parameter-free) plug-in estimator, based on the Grenander estimator. In particular, we show that the simple plug-in estimator is $\sqrt{n}$-consistent, asymptotically normal and is semiparametric efficient. Compared to the previous results on this topic (see e.g., Nickl (2008), Jankowski (2014), and Sohl (2015)) our results holds under minimal assumptions on the underlying $f$ --- we do not require $f$ to be (i) smooth, (ii) bounded away from $0$, or (iii) compactly supported. Further, when $f$ is the uniform distribution on a compact interval we explicitly characterize the asymptotic distribution of the plug-in estimator --- which now converges at a non-standard rate --- thereby extending the results in Groeneboom and Pyke (1983) for the case of the quadratic functional.

研究の動機と目的

• 区間 $[0,\infty)$ 上の単調非増加密度関数の統合関数型の推定を研究すること。
• グレナンドラー推定量に基づく自然なプラグイン推定量の漸近的性質を分析すること。
• 推定量が$\pi$-一貫性、漸近正規性、および半パラメトリック的に効率的であるための条件を確立すること。
• 従来の結果を拡張し、密度関数の滑らかさ、ゼロから離れて正であること、コンパクトな台の仮定を排除すること。
• 密度関数がコンパクト区間上で一様分布である場合の非標準的漸近的分布を明示的に特徴付けること。

提案手法

• プラグイン推定量は、単調密度関数の非パラメトリック尤度推定量であるグレナンドラー推定量から直接構築される。
• 推定量の漸近的分布は、経験過程理論と弱収束の議論を用いて導出される。
• 解析は、グレナンドラー推定量の収束構造、特に領域の境界および内部における挙動に着目している。
• 推定量の分散を半パラメトリックな下界と比較することで、半パラメトリック効率性を確立する。
• 一様分布の場合、非標準的収束速度を用いて漸近的分布が特徴付けられ、グレナンドラーとパイク（1983）の結果を拡張する。
• 滑らかさ、ゼロから離れて正であること、コンパクトな台の仮定を避ける最小限の正則性条件の下で結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統合関数型のプラグイン推定量が、密度関数が単調非増加であるという最小限の条件下で、$\pi$-一貫性を満たすのはどのような条件か？
• RQ2 元の密度関数がコンパクト区間上で一様分布である場合、プラグイン推定量の漸近的分布は何か？
• RQ3 推定量の効率性はいかに評価され、半パラメトリック的に効率的であるか？
• RQ4 滑らかさやゼロから離れて正であることの要請なしに、漸近正規性と効率性を確立できるか？
• RQ5 一様分布の場合の収束速度は、一般の単調密度関数の設定と比べてどのように異なるか？

主な発見

• グレナンドラー推定量に基づくプラグイン推定量は、$[0,\infty)$ 上の単調非増加密度関数の統合関数型に対して$\pi$-一貫性を示す。
• 滑らかさやゼロから離れて正であることの要請を一切必要としない最小限の正則性仮定の下で、推定量は漸近正規性を満たす。
• 推定量は半パラメトリック効率性を達成しており、任意の正則推定量の分散の下界と一致する。
• 密度関数のコンパクトな台の仮定を必要とせず、従来の研究でその制限を要請していたのを拡張する。
• 元の密度関数がコンパクト区間上で一様分布である場合、推定量は非標準的収束速度を示し、その漸近的分布は明示的に特徴付けられる。
• ニッケル（2008）、ジャンコフスキー（2014）、ゾール（2015）、およびグレナンドラーとパイク（1983）の先行研究を一般化・強化しており、特に正則性条件の緩和が顕著である。