[論文レビュー] Estimation of low rank density matrices: bounds in Schatten norms and other distances

Dong Xia, Vladimir Koltchinskii|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ランダム測定を用いたトレース回帰により、低ランク量子密度行列の最小距離推定量を提案する。推定量は、シュレーディンガー p-ノルム、Bures-Hellinger 距離、量子相対エントロピー距離において、対数要因を除いてミニマックス最適レートを達成することが保証されている。また、単体への固有値射影により、計算が効率的に行える。

ABSTRACT

Let ${\mathcal S}_m$ be the set of all $m imes m$ density matrices (Hermitian positively semi-definite matrices of unit trace). Consider a problem of estimation of an unknown density matrix $ρ\in {\mathcal S}_m$ based on outcomes of $n$ measurements of observables $X_1,\dots, X_n\in {\mathbb H}_m$ (${\mathbb H}_m$ being the space of $m imes m$ Hermitian matrices) for a quantum system identically prepared $n$ times in state $ρ.$ Outcomes $Y_1,\dots, Y_n$ of such measurements could be described by a trace regression model in which ${\mathbb E}_ρ(Y_j|X_j)={ m tr}(ρX_j), j=1,\dots, n.$ The design variables $X_1,\dots, X_n$ are often sampled at random from the uniform distribution in an orthonormal basis $\{E_1,\dots, E_{m^2}\}$ of ${\mathbb H}_m$ (such as Pauli basis). The goal is to estimate the unknown density matrix $ρ$ based on the data $(X_1,Y_1), \dots, (X_n,Y_n).$ Let $$ \hat Z:=\frac{m^2}{n}\sum_{j=1}^n Y_j X_j $$ and let $\check ρ$ be the projection of $\hat Z$ onto the convex set ${\mathcal S}_m$ of density matrices. It is shown that for estimator $\check ρ$ the minimax lower bounds in classes of low rank density matrices (established earlier) are attained up logarithmic factors for all Schatten $p$-norm distances, $p\in [1,\infty]$ and for Bures version of quantum Hellinger distance. Moreover, for a slightly modified version of estimator $\check ρ$ the same property holds also for quantum relative entropy (Kullback-Leibler) distance between density matrices.

研究の動機と目的

• 量子状態トモグラフィーにおけるノイズがかかるランダムな測定から低ランク量子密度行列を推定する問題に取り組む。
• さまざまな量子距離測度における推定誤差の既存の上界とミニマックス下界のギャップを埋める。
• 高次元量子系における計算的に効率的な推定量の理論的保証を提供する。
• ヒルバート＝シュミット（フロベニウス）ノルムを超えて、シュレーディンガー p-ノルム、Bures-Hellinger、量子相対エントロピー距離を含む最適性結果を拡張する。

提案手法

• 量子状態トモグラフィー問題をトレース回帰モデルとして定式化する：$ Y_j = \langle \rho, X_j \rangle + \xi_j $、ここで $ X_j $ はランダムなエルミート観測量、$ Y_j $ は測定結果である。
• 最小距離推定量 $ \hat{Z} = \frac{m^2}{n} \sum_{j=1}^n Y_j X_j $ を構築し、その後、密度行列の集合への射影 $ \check{\rho} = \pi_{\mathcal{S}_m}(\hat{Z}) $ を行う。
• $ \hat{Z} $ の固有値分解を行い、その固有値を確率単体 $ \Delta_m $ に射影して $ \check{\rho} $ を計算する。これにより正定値性とトレースが1の条件が保証される。
• 行列濃度不等式とワイエルの摂動定理を用いて、推定誤差の作用素ノルムおよびシュレーディンガーノルムの上界を導出する。
• ユニタリ不変性を用いて、行列の射影とその固有値の単体への射影の等価性を確立する。
• 量子相対エントロピーのための修正推定量を分析し、射影ステップを調整することで、対数要因を除いてミニマックス最適性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算的に単純な推定量が、低ランク密度行列推定においてシュレーディンガー p-ノルムでミニマックス最適レートを達成できるか。
• RQ2 低ランク密度行列のミニマックス下界が、シュレーディンガー p-ノルムおよび量子ダイバージェンスにどの程度まで成立するか。
• RQ3 最小距離推定量 $ \check{\rho} $ が、Bures-Hellinger 距離および量子相対エントロピー距離において、対数要因を除いてミニマックスレートを達成するか。
• RQ4 高次元設定において、最小距離推定量の計算複雑度は、行列LASSO や SVT などの反復的手法と比べてどの程度か。
• RQ5 固有値を単体 $ \Delta_m $ に射影することは、統計的最適性を保ちつつ、密度行列推定量を効率的に計算するために利用できるか。

主な発見

• 最小距離推定量 $ \check{\rho} = \pi_{\mathcal{S}_m}(\hat{Z}) $ は、すべてのシュレーディンガー $ p $-ノルム（$ p \in [1, \infty] $）において、対数要因を除いてミニマックス最適レートを達成する。
• 推定量は、量子ヘルンガー距離のBures版において、対数要因を除いてミニマックス下界に達する。
• わずかに修正された $ \check{\rho} $ のバージョンは、量子相対エントロピー（カルバック・ライブラー）距離においても、対数要因を除いてミニマックス最適性を達成する。
• 推定量 $ \check{\rho} $ の計算複雑度は $ O((n + m)m^2) $ であり、固有値分解と単体への射影が支配的であり、SVT などの反復ソルバーと比べて著しく高速である。
• 行列 $ \hat{Z} $ の固有値を単体 $ \Delta_m $ に射影することは、最適な密度行列推定量を生成する。その明示的解は $ O(m) $ の複雑度を有する。
• 推定量は、パウリ基底など、正規直交基底から抽出されたランダム設計行列に対してロバストである。