[論文レビュー] Estimation of ordinal pattern probabilities in fractional Brownian motion

Mathieu Sinn, Karsten Keller|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、分数 Browm運動（fBm）におけるHurstパラメータのゼロ交差（ZC）推定法について、H < 3/4 の場合に強い一致性と漸近正規性を示す厳密な統計的分析を提供する。Hの信頼区間を確立し、ZC推定法がHEAF推定法よりも高い分散を示すものの、はるかに低いバイアスを示すことを示し、単調変換のもとでの順序パターン確率の不変性を証明する。

ABSTRACT

For equidistant discretizations of fractional Brownian motion (fBm), the probabilities of ordinal patterns of order d=2 are monotonically related to the Hurst parameter H. By plugging the sample relative frequency of those patterns indicating changes between up and down into the monotonic relation to H, one obtains the Zero Crossing (ZC) estimator of the Hurst parameter which has found considerable attention in mathematical and applied research. In this paper, we generally discuss the estimation of ordinal pattern probabilities in fBm. As it turns out, according to the sufficiency principle, for ordinal patterns of order d=2 any reasonable estimator is an affine functional of the sample relative frequency of changes. We establish strong consistency of the estimators and show them to be asymptotically normal for H&lt;3/4. Further, we derive confidence intervals for the Hurst parameter. Simulation studies show that the ZC estimator has larger variance but less bias than the HEAF estimator of the Hurst parameter.

研究の動機と目的

• 分数 Browm運動（fBm）における順序パターン確率推定法の統計的性質を確立すること、特にHurstパラメータHのゼロ交差（ZC）推定法に焦点を当てる。
• H < 3/4 の場合にZC推定法の強い一貫性と漸近正規性を証明し、時間系列解析における応用の理論的基盤を拡張する。
• 変化の標本相対頻度の分散についての正確かつ漸近的表現を導出し、Hの正確な信頼区間の構築を可能にする。
• さまざまなH値と標本サイズにおけるZC推定法とHEAF推定法のバイアス、分散、有限標本性能を比較する。
• fBmの単調変換のもとでの順序パターン確率推定法の不変性を示し、実世界の応用におけるロバスト性を裏付ける。

提案手法

• fBmにおけるd=2の順序パターンの推定法として妥当な推定量が、変化の標本相対頻度（すなわち、上行・下行または下行・上行の遷移）のアフィン関数に限定されることを十分統計量の原理を用いて示す。
• H < 3/4 の条件下で、デルタ法と中心極限定理を適用し、ZC推定法の漸近正規性を導出する。
• 変化の標本相対頻度の分散についての正確式と漸近的に同等の式を導出し、Hの信頼区間の構築に用いる。
• H値（0.55〜0.95）と標本サイズ（n = 128〜8192）を変化させたfBmの50,000回のシミュレーションを用いて、バイアス、分散、信頼区間のカバレッジ確率を評価する。
• ZC推定法とHEAF推定法を比較する際、標本自己共分散をHとの単調関係式に代入することで、バイアスと分散のトレードオフを分析する。
• fBmの単調変換のもとでの順序パターン確率の不変性を証明し、推定法の統計的性質が保持されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 fBmにおけるHurstパラメータのZC推定法の理論的性質—特に一貫性と漸近正規性—は何か？
• RQ2 変化の標本相対頻度の分散はどのように振る舞い、有限標本において正確に近似可能か？
• RQ3 ZC推定法から構築されたHの信頼区間のカバレッジ確率は、漸近正規性が保証されないH ≥ 3/4の場合でもどの程度か？
• RQ4 さまざまな標本サイズとH値におけるZC推定法とHEAF推定法のバイアスと分散の比較は？
• RQ5 順序パターン確率推定法はfBmの未知の単調変換のもとで不変か？その時間系列解析におけるロバスト性へのインパクトは？

主な発見

• H < 3/4 の場合にZC推定法は強い一貫性と漸近正規性を示し、漸近分散は変化の標本相対頻度から導出される。
• 理論的制限にもかかわらず、小標本サイズおよびH > 3/4の場合でも、ZC推定法から構築された信頼区間は約95％のカバレッジを達成する。
• ZC推定法は特にH > 0.85のとき、HEAF推定法に比べて顕著に低いバイアスを示す。H > 0.85ではHEAF推定法のバイアスが著しく増加する。
• n = 8192の場合、ZC推定法の分散はHEAF推定法の2〜8倍にのぼり、効率性は低いがバイアス性能は優れている。
• 変化の標本相対頻度には正確な分散の公式が存在し、漸近的に同等の表現も導出可能であり、正確な推論が可能である。
• 順序パターン確率推定法は、fBmの未知の単調変換のもとで不変であり、非線形ダイナミクスを示す実世界の時間系列解析においてロバストである。