[論文レビュー] Estimation of parameters of boundary value problems for linear ordinary differential equations with uncertain data

Olexandr Nakonechnyi, Yury Podlipenko+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2009

Differential Equations and Boundary Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不確実なデータを伴う一階線形常微分方程式の二点境界値問題（BVP）の解の線形関数に対するミニマックス推定手法を開発する。推定問題は未知パラメータとノイズ分布の上でのミニマックス最適化として定式化され、双対微分方程式の解を用いてミニマックス推定量が導出され、さまざまな不確実性および不完全なデータの条件下での推定量と推定誤差の明示的表現が提供される。

ABSTRACT

In this paper we construct optimal, in certain sense, estimates of values of linear functionals on solutions to two-point boundary value problems (BVPs) for systems of linear first-order ordinary differential equations from observations which are linear transformations of the same solutions perturbed by additive random noises. It is assumed here that right-hand sides of equations and boundary data as well as statistical characteristics of random noises in observations are not known and belong to certain given sets in corresponding functional spaces. This leads to the necessity of introducing minimax statement of an estimation problem when optimal estimates are defined as linear, with respect to observations, estimates for which the maximum of mean square error of estimation taken over the above-mentioned sets attains minimal value. Such estimates are called minimax estimates. We establish that the minimax estimates are expressed via solutions of some systems of differential equations of special type. Similar estimation problems for solutions of BVPs for linear differential equations of order n with general boundary conditions are considered. We also elaborate minimax estimation methods under incomplete data of unknown right-hand sides of equations and boundary data and obtain representations for the corresponding minimax estimates. In all the cases estimation errors are determined.

研究の動機と目的

• 右辺、境界データ、ノイズ統計が不確実な一階線形ODEの二点BVPの解の線形関数を推定する課題に対処すること。
• 最適推定量が与えられた未知パラメータとノイズ実現の集合上での最大の平均二乗誤差を最小化するミニマックス推定問題を定式化すること。
• 双対性原理と補助微分方程式の解を用いて、ミニマックス推定量と推定誤差の明示的表現を導出すること。
• 一般境界条件を伴う高階線形微分方程式および未知パラメータの不完全または部分的な情報がある場合へのフレームワークの拡張。
• 推定プロセスにおける可解性制約と同次解による一意でない問題を体系的に取り扱う方法の特定。

提案手法

• 初期データ、右辺、ノイズの不確実集合上での最大平均二乗誤差の最小化としてミニマックス推定問題を定式化し、ロバスト推定フレームワークを構築する。
• 双対性原理を用いてミニマックス推定問題を最適制御問題に還元し、随伴系と変分法の適用を可能にする。
• ミニマックス推定量を観測値の線形関数として表現し、元の系の随伴を含む双対微分方程式系の解によって係数を決定する。
• グリーンの公式と関数解析的道具を用いて推定誤差を双対問題の解と関連づけ、誤差の上限が明示的に計算可能であることを保証する。
• 不完全データを扱うために、推定問題を次元を低くした空間に還元しながらミニマックス最適性を保つ削除技術を導入する。
• 関数空間と作用素論（例：$L^2$、$H^1$、双対ペアリング）を用いて、無限次元設定における推定問題を厳密に定義・解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右辺と境界データが与えられた集合に属し不確実な場合、二点BVPの解の線形関数に対するミニマックス推定量をどのように構築できるか。
• RQ2 ミニマックス推定量の構造は何か。また、その構造は双対微分方程式系の解を用いてどのように表現できるか。
• RQ3 不確実性下での推定誤差はどのように振る舞い、問題のデータと双対解を用いて明示的に計算可能か。
• RQ4 推定フレームワークは、一般境界条件を伴う高階線形微分方程式および不完全データの場合にどのように拡張できるか。
• RQ5 可解性条件と同次解はミニマックス推定プロセスにおいて果たす役割は何か。そして、それらは体系的にどのように取り扱えるか。

主な発見

• 解の線形関数に対するミニマックス推定量は、観測値の線形結合として表現され、その係数は双対系の解から導出される。
• 推定誤差は、双対問題の解と未知パラメータの不確実集合を用いて明示的に表現される。
• 高階線形微分方程式の場合、ミニマックス推定量は一階系への還元と双対性の適用により導出され、誤差境界は双対解によって決定される。
• 不完全データの場合は、問題を解ける形に次元を低くする削除技術が導入され、ミニマックス最適性が保たれる。
• 右辺と境界データのミニマックス推定量は、それぞれ$ \hat{f} = Q^{-1}\hat{p} + f^{(0)} $および$ \hat{\alpha}_j = Q_1^{-1} \mathbf{S}^+( olimits\hat{p})_j + \alpha_j^{(0)} $で与えられ、ここで$ \hat{p} $は双対問題の解である。
• 境界作用素と係数行列の標準的正則性およびランク条件の下で、全推定フレームワークが一意に解けることが示された。