[論文レビュー] Estimation of reliability and accuracy of models of $φ$-sub-Gaussian process using generating functions of polynomial expansions

Oleksandr Mokliachuk|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2026

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ひとこと要約

Extends reliability and accuracy estimates for 𝜙-sub-Gaussian processes to orthonormal polynomial systems without closed-form generating functions, including Legendre, generalized Laguerre, and Gegenbauer polynomials.

ABSTRACT

Stochastic processes are often represented through orthonormal series expansions, a framework originating in the classical works of Loève and Karhunen and widely used for simulation and numerical approximation. While truncation error in such expansions has been extensively studied, practical models frequently involve an additional source of error arising from the approximation of coefficient functions when closed-form expressions are unavailable. The combined effect of these two errors remains insufficiently addressed in the literature. Building on the author's earlier work on reliability and accuracy estimates for $φ$-sub-Gaussian processes, this paper extends the methodology to orthonormal polynomial systems that do not possess normalized generating functions in analytical form, including the Legendre, generalized Laguerre, and Gegenbauer families. New bounds are derived for models in $L_p(T)$ and $C([0,T])$ that simultaneously account for truncation and coefficient approximation. The resulting criteria provide practical guidance for selecting the number of series terms required to achieve prescribed levels of reliability and accuracy across a broader class of polynomial-based stochastic process models.

研究の動機と目的

• 実際の係数関数が解析的に利用できない場合の直交多項式展開を用いた確率過程の実務的モデリングを動機づける。
• 切り捨て誤差と係数近似誤差の両方を考慮した信頼性と精度の界を構築する。
• 前の𝜙-sub-GaussianフレームワークをLegendre、一般化Laguerre、Gegenbauer多項式系へ拡張する。
• 指定された信頼性と精度を達成するための項数Nの実用的な選択基準を提供する。

提案手法

• 確率過程を近似係数を用いた展開で表現し X_N(t)=∑_{k=0}^{N} ξ_k â_k(t) とモデリング誤差 Δ_N(t)=X(t)−X_N(t) を定義する。
• 𝜙-sub-Gaussianの尾部と τ_𝜙ノルムを用いて誤差ダイナミクスを C_N=∫_0^T (τ_𝜙(Δ_N(t)))^p dμ(t) で上界する。
• Legendre, 一般化Laguerre, Gegenbauer 基底に対して τ_𝜙(ξ_k) の多項式特有の上界を導出する。
• L_p([0,T])における explicit C_N 上界を得て追加の正則性仮定と生成関数類似の考慮を通じて C([0,T]) へ拡張する。
• 各多項式族ごとに解析的生成関数風の構成要素またはそれらの代理上界の形で生じる誤差境界を表現する。
• 指定された信頼性と精度を満たすために必要な項数Nを決定する基準を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝜙-sub-Gaussian過程モデルの信頼性と精度の界を、正規化された解析的生成関数を欠く直交多項式基底へ拡張するにはどうすればよいか？
• RQ2 Legendre、一般化Laguerre、Gegenbauer多項式族は境界と実務的な項数選択にどのように影響するか？
• RQ3 切り捨て誤差と係数近似誤差を統合的な枠組みでどう組み込むか？
• RQ4 これらの多項式基底に対してL_p([0,T])とC([0,T])設定で得られる具体的な C_N の境界は何か？
• RQ5 指定された信頼性と精度レベルを満たすためのN選択の実用的基準は何か？

主な発見

• 切り捨て誤差と係数近似誤差の両方を同時に考慮したモデルに対する L_p([0,T]) および C([0,T]) の新たな境界が確立される。
• Legendre多項式の場合、生成関数風の代理を用いて τ_𝜙(Δ_N(t)) の界を導出し、明示的な対数項を含む C_N の境界へ至る。
• 一般化Laguerre多項式の場合、C_N の境界は Gamma 関数と不完全ガンマ関数関連の表現を含む。
• Gegenbauer多項式の場合、C_N の境界は超幾何関数および正規化超幾何関数を取り込む。
• 3つの多項式族すべてに対して、所望の信頼性と精度を達成するために必要な項数Nを決定する実用的基準を提供できる。
• このアプローチは、閉形式の生成関数を持たない多項式族を含むことにより、HermiteおよびChebyshev系を超えた適用範囲を広げる。