[論文レビュー] Estimation of Scale and Hurst Parameters of Semi-Selfsimilar Processes

Saeid Rezakhah, Anne Philippe+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、定常増分を有する半自己相似過程におけるスケールパラメータλおよびフラクタル次元パラメータHの反復的推定手法を提案する。本手法は、λ^nで定義されるスケール間隔における移動標本分散を用い、分散のクラスタリングを介してスケール遷移を同定する。λおよびHの高精度推定が可能であり、シミュレーションでは、特にH < 0.75およびH ≥ 0.75の両範囲で、既存手法に比べて平均二乗誤差（MSE）が低くなることが示された。

ABSTRACT

The characteristic feature of semi-selfsimilar process is the invariance of its finite dimensional distributions by certain dilation for specific scaling factor. Estimating the scale parameter $λ$ and the Hurst index of such processes is one of the fundamental problem in the literature. We present some iterative method for estimation of the scale and Hurst parameters which is addressed for semi-selfsimilar processes with stationary increments. This method is based on some flexible sampling scheme and evaluating sample variance of increments in each scale intervals $[λ^{n-1}, λ^n)$, $n\in \mathbb{N}$. For such iterative method we find the initial estimation for the scale parameter by evaluating cumulative sum of moving sample variances and also by evaluating sample variance of preceding and succeeding moving sample variance of increments. We also present a new efficient method for estimation of Hurst parameter of selfsimilar processes. As an example we introduce simple fractional Brownian motion (sfBm) which is semi-selfsimilar with stationary increments. We present some simulations and numerical evaluation to illustrate the results and to estimate the scale for sfBm as a semi-selfsimilar process. We also present another simulation and show the efficiency of our method in estimation of Hurst parameter by comparing its performance with some previous methods.

研究の動機と目的

• 定常増分を有する半自己相似過程におけるスケールパラメータλの推定のための、堅牢で反復的な手法の開発。
• 長距離自己相関が存在する状況下でも、自己相似過程におけるフラクタル次元パラメータ推定の精度を向上させること。
• 離散的サンプリングスキームを用いた、スケールおよびフラクタル次元パラメータ推定の計算的に効率的で実装可能なフレームワークの提供。
• 単純な分数 Browm運動（sfBm）—定常増分を有する代表的な半自己相似過程—を用いたシミュレーションにより、本手法の妥当性を検証すること。
• 平均二乗誤差（MSE）の観点から、本手法の性能を、二乗変動および凸再配置といった既存の推定器と比較すること。

提案手法

• 本手法は、スケールパラメータλの初期推定値に基づき、n ∈ ℕ に対して区間 [λ^{n-1}, λ^n) に時間領域を分割する柔軟なサンプリングスキームを採用する。
• 各スケール間隔内における増分の移動標本分散を評価し、新たな区間の開始を示す構造的変化を検出する。
• 初期のλ推定値は、移動標本分散の累積和を分析し、式 (4.2) で定義される統計量 S(z) の極小値を特定することで得られる。
• 反復的改善ステップでは、初期推定値の周囲でλの密集したグリッド上で、式 (4.4) で定義される V(a_k) を評価し、グローバル最小値を特定することで、最終的なスケール推定値λ*を導出する。
• フラクタル次元パラメータの推定には、スケール間隔間の推定分散比を用い、関係式 (λ*)^{H - H'} = μ̄* を活用してHを逆算的に算出する。
• 本手法は、自己相似構造が既知の半自己相似過程として扱える、単純な分数 Browm運動（sfBm）のシミュレート経路に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的サンプリングを用いた場合、定常増分を有する半自己相似過程におけるスケールパラメータλを一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 標本分散の挙動に基づいて、スケール間隔間の遷移点を検出する最適な手法は何か？
• RQ3 本手法によるλの反復的推定は、既存のスケールパラメータ推定手法に比べ、精度および効率性において優れているか？
• RQ4 本手法によるフラクタル次元パラメータ推定は、二乗変動や凸再配置といった既存手法に比べ、平均二乗誤差（MSE）を低く抑えることができるか？
• RQ5 特にH < 0.75およびH ≥ 0.75の範囲において、本手法の性能はどのように変動するか？

主な発見

• ケース1（H ≈ 0.898）では、スケールパラメータはλ*₁ = 2.0000と推定され、初期推定値はλ̃₁ = 1.9995であった。H < 0.75の範囲で、競合手法に比して平均二乗誤差（MSE）が低かった。
• ケース2（H ≈ 0.603）では、スケールパラメータはλ*₂ = 4.0000と推定され、初期推定値はλ̃₂ = 3.9998であった。H ≥ 0.75の範囲で、MSE性能が優れていた。
• 推定されたフラクタル次元パラメータの差は、H₁ − H′₁ = 0.7025およびH₂ − H′₂ = 0.3976であり、それぞれμ̄*₁ = 1.6273およびμ̄*₂ = 1.7352から導かれた真値とよく一致していた。
• 最終的なフラクタル次元パラメータ推定値は、Ĥ₁ = 0.8981およびĤ₂ = 0.6031であり、H′₁ = 0.1957およびH′₂ = 0.2039であった。これにより、元の過程と高い一貫性が確認された。
• 10,000件のサンプルと500回の繰り返しを用いたシミュレーションにより、本手法がHの全範囲で、二乗変動および凸再配置手法に比して低いMSEを達成することが確認された。
• 本手法は計算的に効率的で、移動標本分散とグリッドベースの最小化の使用により、最小限の計算オーバーヘッドで容易に実装可能である。