[論文レビュー] Estimation of the Distribution of Random Parameters in Discrete Time Abstract Parabolic Systems with Unbounded Input and Output: Approximation and Convergence

Melike Sirlanci, Susan E. Luczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 30被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非有界入力および出力作用素を有する無限次元離散時間抽象放物型系における確率的パラメータの分布を推定するための有限次元近似および収束理論を開発する。Gelfand三重対のBochner空間において問題を再定式化し、確率的パラメータを空間変数として扱うことで、状態空間可変型Trotter-Kato半群近似を適用し、収束を証明するとともに、拡散方程式モデルにおける指数型分布族の密度の正確な推定を示す。

ABSTRACT

A finite dimensional abstract approximation and convergence theory is developed for estimation of the distribution of random parameters in infinite dimensional discrete time linear systems with dynamics described by regularly dissipative operators and involving, in general, unbounded input and output operators. By taking expectations, the system is re-cast as an equivalent abstract parabolic system in a Gelfand triple of Bochner spaces wherein the random parameters become new space-like variables. Estimating their distribution is now analogous to estimating a spatially varying coefficient in a standard deterministic parabolic system. The estimation problems are approximated by a sequence of finite dimensional problems. Convergence is established using a state space-varying version of the Trotter-Kato semigroup approximation theorem. Numerical results for a number of examples involving the estimation of exponential families of densities for random parameters in a diffusion equation with boundary input and output are presented and discussed.

研究の動機と目的

• 生理的および環境的要因に起因する個体間およびエピソード間の高いばらつきのため、皮膚透過的アルコールバイオセンサデータ（TAC）を血液アルコール濃度（BrAC/BAC）に変換する課題に対処すること。
• 決定論的パrameter推定の限界を克服するため、パrameterを未知の分布を有する確率的変数としてモデル化し、信用区間を用いた不確実性の定量化を可能とすること。
• 非有界ダイナミクスを有する抽象放物型系における確率的パrameterの確率分布を推定するための、収束保証付きの有限次元近似フレームワークを開発すること。
• 個体および飲酒エピソード間のばらつきを捉えることで、個体特異的キャリブレーションに依存しない一般化性の高い集団レベルの前向きモデルを提供すること。

提案手法

• 確率的システムを、確率的パラメータを追加の空間変数として扱うことで、Bochner空間のGelfand三重対における等価な決定的抽象放物型システムに再定式化する。
• パラメータ化された指数型分布族（例：切り捨てられた2変量正規分布）を用いて、確率的パラメータの分布を表現し、最適化によりパラメータを推定する。
• パラメータ空間における区分的定数関数またはスプラインベース関数の有限次元部分空間を用いて、無限次元推定問題を近似する。
• 状態空間可変型Trotter-Kato半群近似定理を適用し、有限次元近似が真の解に収束することを確立する。
• 数値積分を用いて状態方程式および随伴方程式を定式化・解き、勾配ベース最適化に必要な偏微分を計算する。
• 最適化中に正定値性を保証するため、共分散行列をコレスキー分解によりパラメータ化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界入力および出力作用素を有する抽象放物型系における確率的パラメータの真の分布に収束する有限次元近似スキームを構築できるか？
• RQ2 確率的パラメータの分布推定問題を、決定的放物型PDEフレームワークにおける空間係数推定問題に再定式化できるか？
• RQ3 無限次元設定における半群理論を用いた分布推定問題の近似に対して、どのような収束保証を確立できるか？
• RQ4 シミュレートされたデータから、既知の分布（例：2変量正規分布）の真のパラメータをどの程度正確に回復できるか？
• RQ5 パラメトリック密度形を仮定せずに、確率測度そのものを直接推定できるか？

主な発見

• 16個の基底関数を用いた場合、2変量正規分布の平均および共分散パラメータが良好に推定され、基底関数の数を増やすことで収束が観察された。
• n=16、m₁=m₂=8の場合、推定された平均は[11.67, 9.86]であり、真の値[12, 10]に近く、推定共分散行列は[9.29, 3.03; 3.03, 5.21]であり、真の値[9, 3; 3, 5]に近かった。
• モデルから得られた推定同時密度は、図6.2（左パネル）に示すように、真の2変量正規密度とよく一致しており、分布の正確な回復が確認された。
• デコンボリューション処理による入力信号から得られた75%信用区間は、信頼性の高い不確実性推定を示しており、本手法の不確実性定量化への応用価値を裏付けた。
• パラメータ空間の離散化において、区分的定数要素の代わりに線形スプラインを用いることで収束速度を向上させられる。
• 本フレームワークにより、個体特異的キャリブレーションに依存せず、不確実性定量化を伴う集団レベルのモデル推定が可能となり、TACからBrAC/BACへのロバストなデコンボリューションへの道筋が示された。