[論文レビュー] Estimation of the parameters of a stochastic logistic growth model

Fabien Campillo, Marc Joannides+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、絶滅を伴う確率的ロジスティック成長モデルの尤度に基づく推定手法を開発し、ゼロにおける吸収を反映する完全なフォッカー・プランク方程式を用いる。標準的な確率密度が絶滅時に存在しないという問題に対処するため、有限差分法およびモンテカルロ法の適応スキームを提案し、離散的でかつ絶滅の可能性がある個体群データから、出生率、死滅率、ロジスティック項、ノイズパラメータの推定が可能になる。

ABSTRACT

We consider a stochastic logistic growth model involving both birth and death rates in the drift and diffusion coefficients for which extinction eventually occurs almost surely. The associated complete Fokker-Planck equation describing the law of the process is established and studied. We then use its solution to build a likelihood function for the unknown model parameters, when discretely sampled data is available. The existing estimation methods need adaptation in order to deal with the extinction problem. We propose such adaptations, based on the particular form of the Fokker-Planck equation, and we evaluate their performances with numerical simulations. In the same time, we explore the identifiability of the parameters which is a crucial problem for the corresponding deterministic (noise free) model.

研究の動機と目的

• 絶滅を考慮する確率的ロジスティックモデルのパラメータ推定手法の不足を補う。
• ゼロにおける吸収境界を反映する、拡散過程の完全なフォッカー・プランク方程式を確立する。
• 観察データに絶滅イベントが含まれる場合でも有効な、尤度に基づく推定手順を構築する。
• 特に出生率と死滅率の区別が可能な、確率的モデルにおけるパラメータ同定可能性を調査する。
• 絶滅状態下での尤度近似に適応した、有限差分法およびモンテカルロ法の数値手法を改良する。

提案手法

• ドリフト $ b^\theta(x) = (\lambda - \mu - \alpha x)x $ および拡散 $ \sigma^\theta(x) = \rho \sqrt{(\lambda + \mu + \alpha x)x} $ を持つ拡散過程の遷移密度に対して、$ x=0 $ における吸収を考慮した完全なフォッカー・プランク方程式を導出する。
• $ x=0 $ が抜去境界（almost sure extinction）であることを証明し、それに応じた遷移核を定式化する。
• 離散時間観測に基づくフォッカー・プランク方程式の解を用いた尤度関数を構築する。
• 絶滅における境界条件を適切に処理する有限差分スキームを、フォッカー・プランク方程式の数値解法に適応する。
• 解析解が得られない場合の遷移密度近似に、モンテカルロ法（Pedersen推定子およびブラウン運動ブリッジ推定子を含む）を適用する。
• 数値積分および重要度サンプリング技術を用いて、過程がゼロに到達した場合でも尤度を計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶滅によってゼロに吸収される状態を伴う確率的ロジスティックモデルに対して、フォッカー・プランク方程式をどのように定式化できるか？
• RQ2 絶滅が発生したデータを扱う場合、標準的な尤度に基づく推定法にどのような修正が必要か？
• RQ3 決定論的モデルでは観測可能なのは出生率と死滅率の差のみであるが、確率的ロジスティックモデルにおいては、出生率と死滅率を別々に同定できるか？
• RQ4 過程がゼロに到達する可能性がある状況下で、有限差分法とモンテカルロ法は、遷移密度の近似においてどのように比較されるか？
• RQ5 さまざまなパラメータ設定下で、提案手法のバイアス、分散、収束性の観点から性能はいかがなものか？

主な発見

• ほぼ確実に絶滅が発生するため、モデルのフォッカー・プランク方程式にはゼロにデルタ関数（Dirac delta mass）が現れ、標準的な密度に基づくアプローチを超えた完全な定式化が不可欠である。
• 完全な遷移核に基づく提案された尤度関数は、観察データに絶滅が含まれる場合でも、有効な推定を可能にする。
• 有限差分スキームは、ゼロにおける吸収境界を適切に処理することで、フォッカー・プランク方程式の解を効果的に近似する。
• モンテカルロ法、特にブラウン運動ブリッジのバリエーションは、小さな時間刻みや吸収に近い状態において、尤度推定の精度が向上することが示された。
• 数値シミュレーションにより、$ \lambda, \mu, \alpha, \rho $ のすべてのパラメータが一貫して推定可能であり、決定論的モデルに見られる同定可能性の問題が解消された。
• 絶滅が発生する状況では、標準的最小二乗法に比べて、本手法は出生・死滅のデモグラフィックノイズおよび絶滅情報の完全な利用を可能にし、性能が優れている。