[論文レビュー] Estimation of volatility functionals in the simultaneous presence of microstructure noise and jumps

Mark Podolskij, Mathias Vetter|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、微小構造ノイズと有限活動性ジャンプを伴うdiffusion過程における統合 volatility および統合四次モーメントの推定のための新規推定量であるモジュレートされた二乗変動（MBV）を導入する。モジュレートサンプリング方式を適用し、二乗変動の原理を活用することで、MBVは n−1/4 収束速度を達成し、ジャンプに対してロバストである。これは、やや弱い正則性条件のもとで一貫性があり、効率的かつ実装可能な推定を提供する。

ABSTRACT

We propose a new concept of modulated bipower variation for diffusion models with microstructure noise. We show that this method provides simple estimates for such important quantities as integrated volatility or integrated quarticity. Under mild conditions the consistency of modulated bipower variation is proven. Under further assumptions we prove stable convergence of our estimates with the optimal rate $n^{-{1}/{4}}$. Moreover, we construct estimates which are robust to finite activity jumps.

研究の動機と目的

• 高頻度金融データにおける微小構造ノイズ下での実現ボラティリティの不一致を解消すること。
• ノイズとジャンプの下で、複数のボラティリティ関数（例えば、統合ボラティリティ、統合四次モーメント）を統一的に推定する推定量の開発。
• ノイズとジャンプの両方を考慮した場合に、最適な n−1/4 収束速度を達成するとともに、有限活動性ジャンプに対してロバストであること。
• 理論的に最適であり、かつ実用的かつ実装可能な方法を提供すること。

提案手法

• 微小構造ノイズに対処できるように、実現二乗変動の一般化としてモジュレートされた二乗変動（MBV）を提案。モジュレーティング関数を組み込むことで、ノイズ耐性を向上。
• MBVを、絶対増分の累乗 r および l に対する重み付き和として定義：MBV(Y,r,l)n = n(r+l)/2−1 ∑|Δn_i X|r |Δn_i+1 X|l。
• ノイズ下での推定安定化と収束の確保のため、サイズ M のブロックごとのサブサンプリングを用いる。
• 中心極限定理の技法を用いて、最適な n−1/4 速度での漸近正規性を導出。
• r ∨ l < 2 を選択することでジャンプにロバストな推定量を構築し、有限活動性ジャンプに対して感度が低下しないように保証。
• 証明フレームワークにおいて、マルティンググールおよび半マルティンググール理論、特に安定収束およびバーグホルダー型不等式を活用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小構造ノイズとジャンプの両方の下で、1つの推定量が統合ボラティリティや統合四次モーメントといった複数のボラティリティ関数を一貫して推定可能か？
• RQ2 ノイズとジャンプが共に存在する状況下で、統合ボラティリティおよび四次モーメントの推定量の最適収束速度は何か？
• RQ3 微小構造ノイズが導入された場合に、二乗変動のジャンプに対するロバスト性をどのように維持できるか？
• RQ4 理論的に最適であり、かつ実装可能であるような推定量を構築できるか？

主な発見

• モジュレートされた二乗変動（MBV）は、やや弱い正則性条件のもとで、統合ボラティリティおよび統合四次モーメントに対して最適な n−1/4 速度で安定収束を達成する。
• 本手法は、i.i.d. 微小構造ノイズ下でも、任意の統合ボラティリティの累乗（IV や IQ を含む）に対して一貫した推定量を提供する。
• r ∨ l < 2 のとき、MBV は有限活動性ジャンプに対してロバストであり、ジャンプ・ディフュージョンモデルにおいても一貫性を保つ。
• MBV に対して中心極限定理が確立され、非退化な漸近分散が得られ、推論や信頼区間の構築が可能になる。
• 理論的結果はモンテカルロシミュレーションにより裏付けられ、有限標本における性能とロバスト性が確認された。
• 証明フレームワークは、ブロックごとのサブサンプリングおよびマルティンググール技法を用いて、既存の二乗変動理論をノイズおよびジャンプのロバスト性を考慮して拡張した。