[論文レビュー] Estimations of the particular periodicity in case of the extremal periods in Shirshov's Height theorem

Mikhail Kharitonov|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2011

semigroups and automata theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非n-可約語における周期的部分語の分析を通じて、多項式成長度nのl生成PI代数の本質的高さの上界を改善する。語構造における組合せ的技法、特に辞書的比較可能性とDilworthの定理を用い、周期2、3、n−1の部分語に対してタイトな推定値を確立し、本質的高さに対する指数的でない上界 $Υ(n,l) = 8(l+1)^n n^6$ を得る。これは従来の推定値を著しく改善し、Shirshovの高さ定理の証明を前進させる。

ABSTRACT

Let us recall the well-known Shirshov's Height Theorem. "Let A be a finitely generated algebra of degree d. Then there exists a finite set Y which is the subset of A that A has and an integer h' = h(A) such that A has Shirshov's height h' over set Y. For Y we may take the set of words of length

研究の動機と目的

• l生成PI代数の多項式的恒等式の次数nにおける本質的高さの上界を改善すること。
• 特定の周期（2、3、n−1）を持つ辞書的比較可能な部分語に注目することで、非n-可約語の構造を分析すること。
• 周期性推定と語構造の組合せ的分析を通じて、Shirshovの高さ定理の証明戦略を精緻化すること。
• 既知の下界（例：$\sim (l-1)n^2/4 + 1$）と文献における上界との間のギャップを埋めること。

提案手法

• 周期2、3、n−1の辞書的比較可能な部分語の数を抑え込むためにDilworthの定理を適用する。
• 語の軌道をモデル化し、部分語の周期性を分析するためにRosamond (k-図) 表記を用いる。
• $β(t,l,n)$ に関する補題を再帰的に適用し、対数的深さと指数化を用いて成長を制御する。
• 小周期部分語をフレームワークに統合し、主な高さ上界の導出を支援する。
• 多くの非比較可能な高周期部分語が存在するとn-可約性が強制されることを背理法で示す。
• $β(t,l,n)$ を含む不等式の鎖を確立し、最終的な上界 $Υ(n,l) < 8(l+1)^n n^6$ に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のl生成PI代数のモノイドにおいて、周期2の辞書的比較可能な部分語の最大数は何か？
• RQ2 このような代数において、n-可約性を強制しない範囲で、周期3の部分語は最大何個存在できるか？
• RQ3 周期n−1の部分語の構造を用いて、本質的高さのよりタイトな上界を導出できるか？
• RQ4 l生成PI代数の多項式的恒等式の次数nにおける本質的高さの最もタイトな上界は何か？
• RQ5 新しい上界は、Gelfand–Kirillov次元およびAmitsur–Levitzky定理に基づく既知の下界と比較してどうなるか？

主な発見

• 任意の代数のモノイドにおいて、周期2の辞書的比較可能な部分語の数は、$\frac{(2l-1)(n-1)(n-2)}{2}$ 以下である。
• 周期3のこのような部分語の数は、$(2l-1)(n-1)(n-2)$ 以下である。
• 周期$n-1$の場合、このような部分語の最大数は、$(l-2)(n-1)$ で抑えられる。
• l生成PI代数の本質的高さは、$\Upsilon(n,l) = 8(l+1)^n n^6$ より小さい、これは指数的でない上界である。
• 上記の上界 $Υ(n,l)$ は、$Φ(l,n) = 2^{87}l \cdot n^{12\log_3 n + 48}$ といった従来の推定値を改善する。
• 本研究の結果は、周期的語分解と部分語構造の組合せ的制御を用いたShirshovの高さ定理の精緻化された証明を支援する。