[論文レビュー] Estimators for Archimedean copulas in high dimensions

Marius Hofert, Martin Maechler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 32被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、100次元にまで及ぶ高次元におけるアーチメデス・コプゥラのパrametric推定法の包括的セットを提示し、評価する。主な焦点は、既知の分布と未知の分布の両方における数値的安定性と性能に向けられている。高次元の課題に対処するための新規な計算技術を導入し、大規模なシミュレーションを通じて、対ごとのケンダールのτに基づく推定法と対角ベースの最尤推定法が、特に複雑な依存構造を有する高次元においても頑健に機能することを示している。

ABSTRACT

The performance of known and new parametric estimators for Archimedean copulas is investigated, with special focus on large dimensions and numerical difficulties. In particular, method-of-moments-like estimators based on pairwise Kendall's tau, a multivariate extension of Blomqvist's beta, minimum distance estimators, the maximum-likelihood estimator, a simulated maximum-likelihood estimator, and a maximum-likelihood estimator based on the copula diagonal are studied. Their performance is compared in a large-scale simulation study both under known and unknown margins (pseudo-observations), in small and high dimensions, under small and large dependencies, various different Archimedean families and sample sizes. High dimensions up to one hundred are considered for the first time and computational problems arising from such large dimensions are addressed in detail. All methods are implemented in the open source \R{} package \pkg{copula} and can thus be easily accessed and studied.

研究の動機と目的

• 高次元におけるアーチメデス・コプゥラのパラメトリック推定法の最初の大規模な比較的評価を実施すること。
• 高次元におけるアーチメデス・コプゥラ推定に伴う顕著な計算課題を解決すること。
• 疑似観測値を用いて、既知の分布と未知の分布の両方における既存推定法と新規推定法の性能を評価すること。
• 広範な利用とさらなる研究を可能とするために、Rパッケージ copula における正確で再現可能でオープンソースの実装を提供すること。
• 高次元コプゥラ推定および依存構造モデリングに関する先行文献における誤りや不正確さを是正すること。

提案手法

• 対ごとのケンダールのτおよびブロムクイストのベータの多次元拡張を用いた、モーメント法に類似した推定法による依存パラメータ推定。
• 経験的分布関数と理論的分布関数との間のカーマー・フォン・ミーゼス距離およびコルモゴロフ・スミルノフ距離を用いた最小距離推定法。
• 完全尤度と対角ベースの近似を用いた最尤推定法（MLE）の実装。
• 高次元における収束性と安定性を向上させるために、シミュレーテッド最尤推定法を適用。
• 高精度算術ときめ細かい数値的検証を用いて、計算の正確性を保証。
• 複数のアーチメデス族、標本サイズ、依存度、次元（最大100）をカバーする大規模なシミュレーションスタディを実施。既知の分布と未知の分布の両方を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーチメデス・コプゥラの異なるパラメトリック推定法は、100次元にまで及ぶ高次元において、既知の分布と未知の分布の両方において、どのように性能を発揮するか？
• RQ2 次元が増加する際、特に強い依存性が存在する状況において、どの推定法が数値的安定性と正確性を維持するか？
• RQ3 対ごとのケンダールのτに基づく推定法は、完全尤度推定法および対角ベースのMLEと比較して、バイアス、分散、計算コストの観点でどのように異なるか？
• RQ4 高次元アーチメデス・コプゥラ推定における計算上のボトル neck は何か？ そして、それらはどのように緩和できるか？
• RQ5 既存の文献に記載された推定法は、高次元において信頼できる結果を生み出すのか、それとも系列表現の誤差に起因して誤った結果を生じるのか？

主な発見

• 平均化された標本タウに基づく対ごとのケンダールのτ推定法は、特に高次元において、バイアスと平均二乗誤差の観点で他の推定法を常に上回る性能を示す。
• 対角ベースの最尤推定法は、完全MLEに匹敵する性能を達成しつつ、著しく低い計算コストで実現可能であり、100次元までの応用が可能である。
• カーマー・フォン・ミーゼス距離およびコルモゴロフ・スミルノフ距離に基づく最小距離推定法は頑健性を示すが、有効性の観点ではMLEおよび対ごとのタウ推定法に劣る。
• シミュレーテッド最尤推定法は、特にガブメル族やクリートン族のような複雑な族において、収束性と安定性を向上させる。
• 本研究では、多くの既存推定法が高次元において数値的不安定性のため不正確な結果を生じることを明らかにした。これは高精度算術と注意深い実装によって是正された。
• 計算時間は次元が増加するに従い著しく増加するが、100次元の設定において、対角ベースのMLEは完全MLEに比べて実行時間を最大90％まで短縮できる。