[論文レビュー] Eta forms and the Chern Character

Simon Scott|ArXiv.org|Nov 22, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ多様体上の第一順位楕円型作用素の族に対して、インデックス bundle のチャーン類のエータ形式代表元を構成することにより、幾何的インデックス定理を確立する。正則化されたスーパーアルジェブラトレースと相対エータ不変量を用いて、スピン構造や次元制限を要しない非局所的で一般化されたインデックス公式を証明し、スペクトルセクションとトランスグレッション形式を介して、アティヤ＝シンガーの族インデックス定理を境界設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove two geometric index theorems for a family of first-order elliptic operators over a manifold with boundary by computing eta form representatives for the Chern character classes of the index bundle. The eta forms occur as relative and regularized traces on infinite-dimensional vector bundles realized as the limiting values of superconnection character forms.

研究の動機と目的

• 境界付き多様体への族インデックス定理の拡張を、エータ形式による非局所的境界補正を組み込むことで達成すること。
• 相対的および正則化されたスーパーアルジェブラトレースを用いて、インデックス bundle のチャーン類の明示的代表元を構成すること。
• スピン構造や次元制限を仮定しない状況へと、アティヤ＝シンガーの族インデックス定理を一般化すること。
• スペクトルセクションとトランスグレッション形式を用いて、APS族インデックス定理の概念的かつ幾何的導出を提供すること。
• インデックス bundle のチャーン類のコhomologicalな公式を、境界エータ形式とスーパーアルジェブラ曲率を用いて表現すること。

提案手法

• スーパーアルジェブラ曲率の正則化トレースとしてエータ形式を導出する：$ \eta = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \mathrm{Str}(\dot{\mathbb{A}}_t e^{-\mathbb{A}_t^2}) \, dt $。
• 全空間上のビスマールトスーパーアルジェブラ $ \mathbb{A}_t $ 及び境界への制限 $ \mathbb{B}_t $ を用いて、境界エータ形式を定義する。
• b-微積分とスペクトルセクション理論を適用し、標準的境界射影 $ \Pi_{>} $ を任意のスペクトルセクション $ \mathcal{P} $ に一般化する。
• 相対エータ形式 $ \widehat{\eta}_{\mathcal{P}} $ をトランスグレッション形式として構成し、$ d\widehat{\eta}_{\mathcal{P}} = 2 \int_{\partial M/B} \widehat{A}(\partial M/B) \mathrm{ch}'(\mathbb{E}) $ を満たすようにする。
• 複素曲線積分とリゾルベント解析を用いて、スーパーアルジェブラトレースの漸近展開を計算し、インデックス寄与を抽出する。
• 対角化補題を用いて、$ t \to \infty $ の極限におけるチャーン類形式 $ \mathrm{ch}(\mathbb{A}_{t,\mathcal{P}}) $ がインデックス bundle のチャーン類に一致することを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的境界補正を用いて、エータ形式を介して、境界付き多様体上の族インデックス定理をどのように拡張できるか。
• RQ2 スーパーアルジェブラとインデックス bundle の文脈において、エータ形式の幾何的およびコhomologicalな意味は何か。
• RQ3 スペクトルセクションは、インデックス公式の構成において、標準的境界射影 $ \Pi_{>} $ をどのように一般化するか。
• RQ4 相対エータ形式とインデックス bundle のチャーン類との間の明確な関係は何か。
• RQ5 スピン構造や次元制限を仮定しない状況でも、インデックス bundle のチャーン類をスーパーアルジェブラ形式によって表現できるか。

主な発見

• エータ形式 $ \widehat{\eta}_{\mathcal{P}} $ は、$ d\widehat{\eta}_{\mathcal{P}} = 2 \int_{\partial M/B} \widehat{A}(\partial M/B) \mathrm{ch}'(\mathbb{E}) $ を満たす標準的なトランスグレッション形式であり、バルクのチャーン類形式の非閉性を補正する。
• コhomologicalなAPS族インデックス定理は、$ H^\bullet(B) $ 内で $ \mathrm{ch}(\mathrm{Ind}(\textsf{D}_{\mathcal{P}})) = \int_{M/B} \widehat{A}(M/B) \mathrm{ch}'(\mathbb{E}) - \frac{1}{2} \widehat{\eta}_{\mathcal{P}} $ として成立する。
• 相対エータ形式 $ \widehat{\eta}_{{\mathcal{P}}_1} - \widehat{\eta}_{{\mathcal{P}}_2} $ は閉形式であり、相対チャーン類 $ \mathrm{ch}(\mathrm{Ind}(\mathcal{P}_2, \mathcal{P}_1)) $ を表す。
• $ t \to \infty $ の極限におけるスーパーアルジェブラチャーン類 $ \mathrm{ch}(\mathbb{A}_{t,\mathcal{P}}) $ は、$ \mathrm{ch}(\nabla^0) $、すなわちインデックス bundle のチャーン類に一致する。
• 次数ゼロのインデックスは $ \mathrm{ind}(D_{P_1}) - \mathrm{ind}(D_{P_2}) = \lim_{t \to 0} \mathrm{Str}(e^{-t\Delta_1}) - \mathrm{Str}(e^{-t\Delta_2}) $ として回復され、スーパートレース公式と整合することが確認される。
• この構成は一般であり、スピン構造やクリフォード適合性、次元制限を要しないため、楕円型作用素の族に広く適用可能である。