[論文レビュー] Eta-series and a Boolean Bercovici-Pata bijection for bounded k-tuples

Serban T. Belinschi, Alexandru Nica|ArXiv.org|Aug 25, 2006

Random Matrices and Applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自由加法的畳み込みを線形化するη-series変換を導入することにより、非可換確率変数の有界k-組に対して、多変量ブール型Bercovici–Pata双対性を確立する。無限に可分な分布のR変換が、すべての有界k-組分布のη-seriesに一致することを証明し、R_B(μ) = η_μ を満たす双対性B: D_c(k) → D_c^{inf-div}(k) を構成する。さらに、この双対性が自由乗法的畳み込みを保つことを示し、代数的枠組みD_alg(k)においてη_μ×ν = η_μ ⋆ η_ν が成り立つことを示す。

ABSTRACT

On the space of (non-commutative) distributions of k-tuples of selfadjoint elements in a $C^*$-probability space $D_c(k)$, one has an operation $\freeplus$ of free additive convolution, and one can consider the subspace $D_c^{inf-div}$ of distributions which are infinitely divisible with respect to this operation. The linearizing transform for free additive convolution is the R-transform. Thus, one has $R_{μ\freeplusν}=R_μ+R_ν$. The eta-series $η_μ$ is the counterpart of $R_μ$ in the theory of Boolean convolution. We prove that the space of eta-series of distributions belonging to $D_c(k)$ coincides with the space of R-transforms of distributions which are infinitely divisible with respect to free additive convolution. As a consequence of this fact, one can define a bijection $B : D_c(k) o D_c^{inf-div}$ via the formula $R_{B(μ)} = η_μ$, for all distributions $μ$ in $D_c(k)$. We show that $B$ is a multi-variable analogue of a bijection studied by Bercovici and Pata for k=1, and we prove a theorem about convergence in moments which parallels the Bercovici-Pata result. On the other hand we prove the formula $B(μ\freetimesν) = B(μ) \freetimes B(ν),$ with $μ,ν$ considered in a space $D^{alg}(k)$ containing $D_c (k)$ where the operation of free multiplicative convolution $\freetimes$ always makes sense. An equivalent reformulation for this equality is that $η_{μ\freetimesν}=η_μ \freestar η_ν,$ for all $μ,ν\in D^{alg}(k)$. This shows that, in a certain sense, eta-series behave in the same way as R-transforms in connection to the operation of multiplication of free k-tuples of non-commutative random variables.

研究の動機と目的

• 非可換確率変数の有界k-組に対して、単変量のブール型Bercovici–Pata双対性を多変量設定に拡張すること。
• 無限に可分な分布のR変換の集合が、新たな変換によるη-seriesの像として特徴づけられること。
• R_B(μ) = η_μ を満たす双対性B: D_c(k) → D_c^{inf-div}(k) を構築し、単変量の場合を一般化すること。
• この双対性が自由乗法的畳み込みを保つことを証明し、代数的枠組みD_alg(k)においてη_μ×ν = η_μ ⋆ η_ν が成り立つこと。

提案手法

• 分布μ ∈ D_c(k) のモーメント級数M_μ を用いて、η_μ = M_μ / (1 + M_μ) とη-seriesを定義する。
• 無限に可分なk-組分布のR変換の集合が、すべての有界k-組分布のη-seriesの集合に一致することを証明する。
• R_B(μ) = η_μ を満たす条件により、双対性B: D_c(k) → D_c^{inf-div}(k) を構成する。
• R_B(μ×ν) = R_B(μ) ⋆ R_B(ν) を証明することで、Bが自由乗法的畳み込みと整合することを確立し、これはη_μ×ν = η_μ ⋆ η_ν に等価である。
• 非交叉分割とKreweras補元を含む組合せ的恒等式を用いて、η-seriesの⋆-積に関する畳み込み恒等式を検証する。
• R変換の線形性とR変換とη-seriesの双対性を活用して、主要な関数方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換確率変数の有界k-組に対して、ブール型Bercovici–Pata双対性は単変量から多変量へ一般化可能か？
• RQ2 D_c^{inf-div}(k) における無限に可分な分布のR変換の集合は、正確にD_c(k) に属するすべての分布のη-seriesの集合か？
• RQ3 R_B(μ) = η_μ を満たす双対性B: D_c(k) → D_c^{inf-div}(k) は、自由乗法的畳み込みの構造を保つか？
• RQ4 η-seriesは自由乗法的畳み込みの下でどのように振る舞い、R変換が×の下で示す性質を模倣する自然なη-series上の演算は存在するか？
• RQ5 非交叉分割の組合せ的構造を用いて、μ, ν ∈ D_alg(k) に対して恒等式η_μ×ν = η_μ ⋆ η_ν を証明可能か？

主な発見

• 無限に可分なk-組分布のR変換の集合は、すべての有界k-組分布のη-seriesの集合に一致する。すなわち、{R_μ | μ ∈ D_c^{inf-div}(k)} = {η_μ | μ ∈ D_c(k)} が成り立つ。
• R_B(μ) = η_μ を満たす写像B: D_c(k) → D_c^{inf-div}(k) は、well-definedな双対性であり、単変量のブール型Bercovici–Pata写像を一般化する。
• 双対性Bは自由乗法的畳み込みを保つ。すべてのμ, ν ∈ D_alg(k) に対して、B(μ × ν) = B(μ) × B(ν) が成り立つ。
• すべてのμ, ν ∈ D_alg(k) に対して、恒等式η_μ×ν = η_μ ⋆ η_ν が成り立つ。ここで⋆はNicaとSpeicherが定義した級数の演算である。
• 証明は、非交叉分割に関する組合せ的恒等式 N′(σ, τ) = N′′(σ, τ) に依拠しており、これは条件τ ≤ K(σ) およびP_τ(n) = P_σ^{-1}(1) に同値であることが示された。
• f = R_μ のとき Reta(f) = η_μ と定義される変換Retaは、Reta(f ⋆ g) = Reta(f) ⋆ Reta(g) を満たし、⋆-積に関して準同型性を示す。